在学习数的整除时，介绍完整除的定义，整除的性质，之后就是介绍常用数的整除特征了。

一些数整除的特征：
（1）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（2）若一个整数的数字和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
 (3) 若一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（5）一个数末三位数字所有表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小），能被7,11,13整除，这个数就能被7,11,13整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（7）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

上面这七条是一般书里都会介绍的几条。今天我们讨论的是能被9整除的数的特征。

其实能被9整除的数除了上述的特征外，还有一个更推广的形式，那就是：一个数随意断位，所形成的各个数相加能被9整除，则这个数能被9整除。

下面我们看看如何利用这个特点解决问题

例1：1234567891011121314…………200820092010这个数除以9的余数是多少？

解：此题如果利用特征2（若一个整数的数字和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。）,那么我们需要先算出这串数的数字之和才能判断。难度应该说是不小的。

现在我们用推广形式试一下。随意断位，我们可以这样断：

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  …………2008  2009  2010

现在就可以用从1到2010的和来判断除以9余数为多少：

（1+2010）×2010÷2＝2011×1005≡4×6≡6（mod 9）

因此此题除以9的余数是6.

例2：自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？

解：72＝8×9,且（8,9）＝1

因此可以用8和9共同的特征来判断。

先考虑9的特征，我们还是用推广的方式来断位相加。假设写到的自然数是N。

断位如下：1  2  3  …… 9  10  11  12  …… N

相加和为：（1+N）×N÷2

则和能被9整除。即：N或（N+1）是9的倍数。

同时能被8整除的数看末三位，且末位一定是偶数。

因此N可能等于：8,18,26,36……………

题目要求第一次被72整除，所以从小往大试。

N＝8时，末三位为678,不是8的倍数；

N＝18时，末三位为718,不是8的倍数；

N＝26时，末三位为526，不是8的倍数；

N＝36时，末三位为536,能被8整除。

因此符合条件的自然数为36.

利用能被9整除的推广的形式，在一串数列排在一起的情况下非常有效。