学习目标

1．了解二次根式的混合运算顺序；

2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)

教学过程

一、情境导入

如果梯形的上、下底边长分别为2 cm，4cm，高为 cm，那么它的面积是多少？

毛毛是这样算的：

梯形的面积：(2 ＋4 )× ＝( ＋2 )× ＝×＋2 ×＝＋2 ＝2 ＋6 (cm²)．

他的做法正确的吗？

二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算

【类型一】 二次根式的混合运算

 计算：

(1) ÷ － × ＋ ；

(2) ÷ × － .

解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．

解：(1)原式＝ － ＋ ＝4－ ＋2 ＝4＋ ；

(2)原式＝ × －5 ＝ × －5 ＝ × －5 ＝ －5 ＝－ .

方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算

 计算：

(1)( ＋ )( － )；

(2)(3 －2 )²－(3 ＋2 )².

解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．

解：(1)( ＋ )( － )＝( )²－( )²＝5－3＝2；

(2)(3 －2 )²－(3 ＋2 )²＝(3 －2 ＋3 ＋2 )(3 －2 －3 －2 )＝－24.

方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】 二次根式的化简求值

 先化简，再求值： ＋ (x>0，y>0)，其中x＝ ＋1，y＝ －1.

解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．

解：原式＝＋ ＝ ＋ ＝ .

x＝ ＋1，y＝ －1，∴x＋y＝2 ，xy＝3－1＝2，∴原式＝＝ .

方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型四】 二次根式混合运算的应用

 一个三角形的底为6 ＋2 ，这条边上的高为3 － ，求这个三角形的面积．

解析：根据三角形的面积公式进行计算．

解：这个三角形的面积为 (6 ＋2 )(3 － )＝ ×2×(3 ＋ )(3 － )＝(3 )²－( )²＝27－2＝25.

方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

探究点二：二次根式的分母有理化

【类型一】 分母有理化

 计算：

(1)；

(2)＋ .

解析：(1)把分子、分母同乘以 ，再约分计算；(2)把 的分子、分母同乘以 － ，把 的分子、分母同乘以 ＋ ，再运用公式计算．

解：(1) ＝ ＝ ＝ ＋ ；

(2)＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝5－2 ＋5＋2 ＝10.

方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成 · 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是 ＋，则分子、分母同乘以 －.

【类型二】 分母有理化的逆用

 比较 － 与 － 的大小

解析：把 － 的分母看作“1”，分子、分母同乘以 ＋ ；把 － 的分母看作“1”，分子、分母同乘以 ＋ ，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．

解： － ＝ ＝ ， － ＝ ＝ . ＋ ＞ ＋ ＞0，

∴ ＜ 即 － ＜ － .

方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．