《最小公倍数》教学实录及评析

        沁园路小学   聂慧玲

《最小公倍数》是人教版五年级数学下册第四单元《分数的意义》中的一部分，它的主要内容是：公倍数、最大公倍数以及最小公倍数的求法。按照“温故而知新”的教学思想，我设想从复习旧知“因数”“倍数”入手，引导孩子复习最大公因数以及求最大公因数的方法，从而类推猜想“倍数中有没有公倍数、最大公倍数”，建构数学知识体系，激发学生求知的欲望。

教学实录：

师：同学们，大家好！你们能不能回答我两个问题。

生：（满怀自信）行！

师：请听好。关于因数和倍数，你都知道些什么？

【从学生比较熟悉的因数和倍数入手，一方面从熟悉的话题入手，容易打开学生的话匣，以积极地状态进入课堂学习；另一方面引导学生复习旧知，为知识体系的建构做好准备。】

（学生愣了将近半分钟）

生1：如果ab=c，那么，a、b就是c的因数；c就是a、b的倍数。

生2：3x4=12，那么，3、4就是12的因数；12就是3、4的倍数。

师：说得真清楚，能从具体的例子讲起因数、倍数，值得我们大家学习。那么，刚才两位同学所说的，你最欣赏谁的，为什么？

生3：我赞同张薇举例说明的，容易理解。

生4：我赞同陆小龙用字母表示，字母可以代表任何数。

师：是吗？

生4：不对，是可以代表任何非0的自然数。

师：补充的非常准确，也就是说因数和倍数的概念我们是在非0自然数的范围内进行探讨研究的。

【允许学生用不同的方式理解记忆，从孩子们的回答可以看出他们对于概念的理解还是比较到位的，既可以举例，又可以用字母表示数与数之间的关系。如果在此处教师能够点明，数学的研究大都是在一定的范围限制内，会让学生对与数学的学习有个更明确的认识。】

师：关于因数的相关知识，你还想说些什么？

生5：一个数的因数的个数是有限的。

生6：一个数的最大因数和最小倍数都是他本身。

生7：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数

师：怎么说能把这句话转化为对“因数”的叙述呢？

生7：个位上是0、2、4、6、8的数都有因数2。

生8：个位上是0、5的数都有因数5。

师：大家真厉害，不仅会说，更会思考。

师：还有吗？比如，两个数的因数有什么联系？

【教师在学生学习过程中的作用就是学生需要帮助的时候，站出来，做好解释、引导。在这里，学生一时不能够说出公倍数，教师就直接提出问题“两个数的因数有什么关系”，把学生散乱的思维集中起来，继续向着学习目标进行。】

生：两个数有公因数和最大公因数。

师：什么叫两个数的公因数、最大公因数？

生9：两个数的因数中相同的数叫这两个数的公因数，所有公因数中最大的那个就是这两个数的最大公因数。

师：说得可真是清楚，能举例说明一下吗，独立写在练习本上。

学生独立在练习本上写，交流。    

    生10：比如12和28，12的因数有：1、12、2、6、3、4,；28的因数有：1、28、2、14、4、7；公因数为1、2、4，最大的是4。

师：麻烦你到讲台前，板书给大家看。

一生板书过程。 1、12、2、6、3、4,

             1、28、2、14、4、7

              最大公因数：4

师：有建议吗？

生11：过程没有说明白，比方，“最大公因数是4”，应该是“12和28的最大公因数是4”。

师：是呀，我们需要把每一句话表达清楚。

12的因数有：1、12、2、6、3、4；

28的因数有：1、28、2、14、4、7；

12和28的公因数为1、2、4，

12和28的最大公因数是4。

比一比谁听得最仔细，能够把求两个数的最大公因数的方法用几个步骤说出来？

生12：1、列举出连个数的所有因数；2、在各自的因数中找出共同的因数；3、公因数中最大的那个就是两个数的最大公因数。

师：为你鼓掌，思路清晰，表达准确。

【在个别学生总结了求最大公因数的方法后，教师忽略了大多数学生的活动，想当然的进入下一环节。如果次处能够让每个学生大声的对自己或同座位学生说一遍，既能够让个别溜号的学生重新回到课堂，又能为下面最小公倍数的学习做好铺垫。】

那么，话说到此，有个数不愿意啦，谁呢？

生13：当然是“倍数”啦，半天没有说到他。

师：那我们接下来就说说“倍数”吧。你对于它有哪些了解？

生14：一个数的倍数的个数是无限的。

生15：两个数公有的倍数是他们的公倍数。

师：什么是公倍数？

【最小公倍数的学习是建立在公倍数的认识之上的，此处没有能够抓住机会，让学生明确的掌握公倍数的求法，为下边的学生学习设置了一定的障碍。】

生16：同时是两个数的倍数的数叫公倍数

师：那么，是否也有最大公倍数呢？

生17：有

生18：没有

师：到底是有还是没有呢？请你用自己的方式验证自己的说法。

学生独立验证。

交流

生19：我认为两个数没有最大的公倍数，理由是一个数的倍数个数就是无限的，两个数不可能有最大的公倍数。

生20：我认为两个数有最大的公倍数。比如4和2在20以内的最大公倍数是20

师：我这怎么没有听明白呢？

生21：我知道，他说的是在20以内，2和4的最大公倍数是20；如果没有限制的话，就没有最大公倍数。

师：我们常说的是没有限制的公倍数，到底有没有最大的？

【对于数学思想的陌生，导致教师在课堂上没有能够抓住思维火花闪亮的机会。“4和2在20以内的最大公倍数是20”，也许这是一位平时数学理解能力不强的小姑娘提出来的，我就默认为不合主流。仔细思考，数学研究有很多是建立在一定条件限制下的。比如，除数不能为0；因数和倍数的研究条件是非0自然数......如果及时给予学生合理解释，让学生明白，对于今后的数学研究就不用教师的提醒啦啊。】

生22：我觉得有时候两个数连公倍数都没有，比如23和31，我写了23、46、69...... ；   31、62......找不到公倍数，并且23的倍数无论怎样也追不上31的倍数。

学生一片哗然。（有几个学生已经动笔计算）

师：是吗？

生23：不是，数字小的可以乘较大的倍数，数字大的可以乘较小的倍数，照样可以找到倍数结果相同的。

师：比如？

生24：比如6和9，6乘3，9乘2。就可以得到相同的倍数18。

师：奥，我有些明白了。原来小的可以乘较大的倍数，数字大的可以乘较小的倍数，照样可以找到倍数结果相同的，就是他们的公倍数。

生25：出来啦，23和31的最小公倍数是713，因为23和31是互质数，他们的最小公倍数就是两数相乘。

师：真厉害，他不仅找出23和31的最小公倍数是713，还发现了一个规律，不知道是否准确？

大家积极讨论。

生26：对啦，我们举了很多例子，只要两个数为互质数，他们的最小公倍数一定是两个数的乘积。比如，4和5的最小公倍数是20；7和9的最小公倍数是63......

【我现在真的是越来越佩服我的学生们，往往一个问题的解决就能够带出更多问题的思考。相信自己吧，你能放得开，学生才能走得远。】

师：你们真的很会学习，我都听入迷了。大家说到这，我想起来一个特别有意思的事：在操场上赛跑的时候，两个人速度不同，相差不少，但是不一会两个人还能同时从起点跑过？为什么？

生27：一个人跑的圈数多，另个人跑得慢，被人家追上了。

师：比如，我三分钟绕操场1圈，董汉臣2分钟1圈，我们俩同时从起跑线出发，几分钟后我们两个又会同时从起点跑过。请你认真思考，把结果写在练习本上。

生28：6分钟

生29：1分钟

众生：哇

生30：老师第一次在起点时是第3分钟，第二次就是第6分钟时，第三次就是第9分钟，接着第12分钟......董汉臣第一次在起点是第2分，第二次就是第4分钟时，第三次就是第6分钟，接着第8分钟......也就是第6分钟时两人又一次同时跑过起跑线。

师：我有一个小疑问，那位代我问大家？

生31：为什么会想用到最小公倍数这个知识来解决问题呢？

【模仿是最好的学习，只有学生会问了，才会有更多的问题生成，更多精彩的呈现。】

生32：老师每次出现在起跑线上时都是3分钟的倍数，董汉臣每次出现在起跑线上的时间都是2的倍数，他们同时出现的时间应该是2、3的公倍数，最快的就是最小公倍数。

师：我都听迷啦，讲的可是清楚至极，你们明白吗？

生：明白啦。

【从下面的学习中，可以看出这个问话是多余的，因为确实还有学生是不明白的。】

师：请大家闭上眼睛回顾一下，本节课咱们都有哪些收获？

生：复习了因数、公因数、最大公因数；倍数、公倍数、最小公倍数；求最大公因数和最小公倍数的方法相似......

【感觉这节课学生最大的收获，不是知识掌握的多与少，更多的是经历一次小范围数学知识体系的建构过程。在以后的学习过程中，即便是忘掉了某一知识，凭借建构的知识网，就能找出相关的知识进行推理、联想，从而解决问题。】