鸽巢问题

王争争

教学目标

1、理解最简单的“鸽巢问题”及其一般形式，采用枚举法和假设法探究“鸽巢问题”，通过分析和推理，理解并掌握这一类“鸽巢问题”的一般规律。

2、经历“鸽巢问题”探究推理过程，了解“鸽巢原理”，体会比较的学习方法。

3、体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养数学模型思想。

重点：理解“鸽巢问题”的“一般化模型”推理过程。

难点：理解“鸽巢问题”的一般规律。

教学过程

一、问题导入

问题：任意找13个人，他们中至少有2个人的属相相同。你知道为什么吗？

任意找367个人，至少有几个人在同一天过生日？先独立思考，再小组内讨论。

解答：都是至少有2个人。

问题：“至少”表示什么意思？学生分享。

师：解决这一类问题的理论依据就是“鸽巢问题”。今天我们就一起来研究这一类问题。（板书：鸽巢问题）

二、探究新知

（一）教学例1。课件出示例1情境图。

题目：有4支铅笔，3个笔筒，把4支铅笔放进3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？

师：请同学们小组合作讨论问题并实际放放看或者通过画图来表示，一会我们请小组代表来展示一下你们小组讨论的情况？

小组展示不同方案，并总结自己的发现。

枚举法：

1、操作法：通过动画展示。

2、画图表示法：

3、数字表示法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

师：通过刚才的操作，大家发现了什么？

生验证结论：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

问题：（1）“总有”是什么意思？（一定有）

　　    （2）“至少”有2支什么意思？（最少，最起码。不少于2支，可能是2支，也可能是多于2支。）

假设法：

师：除了像这样把所有可能的情况都列举出来，还有没有别的方法也可以证明这句话是正确的？

预设：我是这样想的，先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支。这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就是2支了。所以我认为是对的。

教师板书图示，引导学会直观认识“这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就有2支”的情况。

师：你为什么要先在每个笔筒中放1支呢？

预设：因为总共只有4支，平均分，每个笔筒只能分到1支。

师：你为什么一开始就要去平均分呢？（板书：平均分）

预设：平均分，就可以使每个笔筒的笔尽可能少一点，也就有可能找到和结论不一样的情况。

师：我明白了。但是这样只能证明有一个笔筒中肯定会有2支笔，怎么能证明至少有2支呢？

预设：平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。

教师引导学生总结规律：我们把4支笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。这是我们通过实际操作和假设的方法得出了这个结论。

确认结论：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

问题：把6枝笔放进5个笔筒里呢？还用摆吗？

           把7枝笔放进6个笔筒里呢？

           把8枝笔放进7个笔筒里呢？

           把9枝笔放进8个笔筒里呢？……

你发现什么？（笔的支数比笔筒数多1，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。）

总结：只要放的铅笔数比笔筒多1，总有一个笔筒里至少放进2支。

思考：那么多2、多3、多4、多5……呢？结论还成立么？（成立）

师：我们能不能用字母总结出一般规律呢？小组讨论，看哪一组能得出？

小组分享，师总结：如果有m只鸽子飞回n个鸽巢中，（m＞n，m和n是非0的自然数），那么至少有2只鸽子飞回同一个鸽巢。

（二）教学例2。（1）课件出示例2情境图。

师：把7本书放进3个抽屉中，结果会怎样呢？小组讨论，用假设法来解决。

学生交流后可能会说出：把7本书平均放进3个抽屉，那么每一个抽屉放进2本，还剩1本，把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书。

师：我们能否用数学算式写出解题过程呢？

学生汇报时可能会说出：7÷3＝2……1      2＋1＝3（板书）

师：如果有8本书会怎样呢？10本书呢？

学生独立思考，同桌间讨论、交流。

                                        8÷3＝2……2      2＋1＝3（板书）

                                        10÷3＝3……1     3＋1＝4（板书）

师：我们能不能用数学式子来表示出这个规律呢？

生：物体数÷抽屉数=商……余数    至少数：商 1

（2）上面我们解决了几个问题，能否用字母总结出这一类问题的一般规律呢？

组织学生在小组中交流，然后汇报。汇报可能不规范。

教师总结：如果把多于kn本书放进n个抽屉（k是正整数），那么至少有1个抽屉中有（k＋1）本书。

这就是我们今天要学习的课程“鸽巢原理”，又名“抽屉原理”。它在生产生活中有广泛的应用。下面就让我们一起来运用一下这个原理。

三、知识应用

课件出示教材第68页做一做第1题、第69页做一做第1题。

四、教学小结：有关鸽巢问题，你还有哪些疑问？

                         通过这节课的学习，你有什么新的收获？