数学讲坛（一）

神奇的“杨辉三角”

讲述目标：

1．              使听众认识“杨辉三角”，探索它的制作方法。

2．              观察、探索、发现“杨辉三角”中所蕴含的数学规律，感知数学的神奇，激发学生学习、探究数学的兴趣，培养学生的思维能力。

3．              了解“杨辉三角”在生活中的用途，体会数学的应用价值。

讲述过程：

一、         准备题

师：老师发现同学们都很喜欢做找规律的题，因为这能锻炼我们的思维能力，下面老师出一道很难很难的找规律题，看谁知道后面填什么。

出示第一题：

1、2、3、4、5、6、7、（  ）、（  ）、（  ）……（整数列）

[设计说明：通过这一个简单的数列来幽默地导入下面的探索过程。]

出示第二题1、3、6、10、15、（  ）、（  ）、（  ）……（三角数列）

[设计说明：这一组数已不是等差数列，但多数学生都能用递加法找到规律，但对于自己现在所教的二年级学生来说还是有一定的难度的。实际上这组数列也叫“三角数”，其中蕴藏着一定数学思想方法（如数形结合法），它就可以和下一组数列（平方数）放在一起整理出一次单独的讲座。再下面的“2的幂数列（又叫棋盘数列，其中还有一个有趣的故事呢！）”与“裴波纳契数列”又可分别形成一次讲座。针对学生的知识基础与理解基础，这次讲座的内容适合小学高年级学生。如果听众是低、中年级的学生，在这次讲座之前就需要“平方数与三角数”、“棋盘数”与“裴波纳契数列”这三次讲座作为铺垫。至于为什么把这次讲座作为我的系列数学讲坛的开篇内容，纯属个人原因。因为“杨辉三角”虽然在新教材中有编排，自己也曾引导学生探索过其中的规律，但却不知 “杨辉三角”在实际中的用途和它中所蕴含那么多的神奇的数字规律。自从了解了这些之后，可以说这些令人着迷的规律一直萦绕在自己的脑子里挥之不去，有把这部分知识总结出来的冲动。好像不把它写出来，不把它的神奇之处展示给学生就誓不罢休似的。也是它促成了我开办“数学讲坛”的想法与行动，所以就把它作为数学讲坛的开篇之作吧。当然这次讲讲座打算在五六年级中举办。]

第三题：1、4、9、16、25、（   ）、（   ）、（   ）……（平方数列）

[设计说明：对于二年级学生来说，虽然他们还有认识过“平方”的概念，但他们已经学习了“一到九的乘法口诀”，再加上可以用数形结合的方式引导学生探索这一规律，所以二年级学生应该能感知、探索这一数列的规律。]

第四题：1、2、4、8、16、（  ）、（  ）、（  ）……（2的幂数列）

第五题：1、2、3、5、8、13、（  ）、（  ）、（  ）……（裴波纳契数列）

[设计说明：虽然裴波纳契数列与兔子的繁殖情况并不相符，但它却确实存在于各种植物当中，，它和黄金比也有着密切的联系呢，就连钢琴的琴键中也存在着与它的惊人巧合。这也许就是数学的魅力吧。以上这些都已经够神奇，更加神奇的是这些数列竟然同时存在于“杨辉三角”中。]

二、         认识“杨辉三角”

师：同学们都知道这些数列都非常有趣，今天我们再来认识一个更加有趣的数学模型，它就是数学金字塔。出示图片：

师：它就是著名的“杨辉三角”，是距今八百多年前宋朝数学家杨辉发明的。在国外它叫“帕斯卡三角”。你知道它的组成规律吗？它的下一行应该是哪些数呢？出示第二张图片：

师：它的再下一行呢？

三、          探索规律

师：看样子，“杨辉三角”是按照一定的规律形成的。认真观察，这里面是否还藏着其它规律呢？你知道下面一行各填多少吗：如下图

引导学生先独立观察，然后可以小组合作。

师：想一想刚才我们在研究它的组成时是怎么观察的？

[设计说明：学生应该能看出这是竖着的规律，也就是竖着观察得到的规律。这样他们也许会想到其它的观察方法，如横着观察、斜着观察的方法。因为学生有从不同角度观察10以内、20以内的加法表和减法表、乘法口诀表的经验，再加上有一少部分学生已具有一定的迁移能力。]

其中最明显的一个规律位于第二条斜线上，如下图。它是整数列：1、2、3、4、5、6、7、8、（  ）、（  ）……

师：如果观察第三条斜线，你发现了什么数列？（三角数列）如果你将这条斜线上相邻的数两两相加，又会得到什么样的数列呢？请看下图：

师：想一想这与我们前面研究过的什么数列？

学生应该能发现三角数列：1、3、6、10、15、、21、28……

平方数列：1、4、9、16、25、36、49……

师：如果我们把每一横行的数加起来，会得到什么数列呢？

这就会得到2的幂序列：1、2、4、8、16、32、64、128……

师：如果我们沿着箭头所指的方向，将相同颜色的数字相加。你又能得到什么数列呢？如下图：

这就是以前我们以小兔子的繁殖来研究的裴波纳契数列，对吧？

四、          应用价值

师：杨辉三角中不仅隐藏着许多有趣的规律，你还可以利用它来计算事物有多少种组合方式。比如你去商店里去批发冰激凌，那里总共有5种口味供你选择，那么一共有多少种可能的购买方式呢？

从杨辉三角的顶上往下数5行，第6行中的数就可以帮助我们快速算出答案来：

一种口味也不要的购买方式有1种

选一种口味的购买方式有5种

选两种口味的购买方式有10种

选三种口味的购买方式有10种

选四种口味的购买方式有5种

五种口味都选的购买方式有1种

1+5+10+10+5+1=32（种）

你说这种方法神奇吗？对，主要是数学家们为人类发明了这样一个神奇的“三角”。它在生活中还有别的作用吗？同学们可以继续探索。

五、回顾总结

听了今天的“数学讲坛”你又有什么新的收获？

引导学生从数学的魅力、观察的方式（横着、坚着、斜着多角度、全方位地观察）、思考方式等方面进行感悟与总结。

六、拓展延伸

请同学们观察下面的“三角”，你又能从中发现什么规律呢？