对开普勒第三定律误差分析

 

本文依据天文观测数据对开普勒第三定律公式

 

a^3/T^2=GM/4π^2     (1)

 

的误差进行计算, 公式中取a为各大行星半长径, 取常数K= GM/4π^2=3.361637557*10^18(米^3/秒^2), 计算太阳系中各大行星公转周期T, 并与公转周期的观测值T1对比, 计算出绝对误差η=T-T1.  

 

[水星]: a=5.7909786*10^10(米),T1=7576934.4(秒)

 

T=√[(5.7909786*10^10)^3/3.361637557*10^18]=7600680.841(秒)

 

η=T-T1=7600680.841-7576934.4=23746.441(秒)

 

[金星]: a=1.082098688*10^11(米), T1=19414166.4(秒)

 

T=√[(1.082098688*10^11)^3/3.361637557*10^18]=19414439.74(秒)

 

η=T-T1=19414439.74-19414166.4=273.3360588(秒)

 

[地球]: a=1.4959787*10^11(米), T1=31558118.4(秒)

 

T=√[(1.4959787*10^11)^3/3.361637557*10^18]=31558232.5(秒)

 

η=T-T1=31558232.5-31558118.4=114.1 (秒)

 

[火星]: a=2.279478538*10^11(米),T1=59355072(秒)

 

T=√[(2.279478538*10^11)^3/3.361637557*10^18]=59357802.95(秒)

 

η=T-T1=59357802.95-59355072=2730.951131(秒)

 

[木星]: a=7.782972463*10^11(米), T1=374346144(秒)

 

T=√[(7.782972463*10^11)^3/3.361637557*10^18]=374492217.8(秒)

 

η=T-T1=374492217.8-374346144=146073.8376(秒)

 

[土星]: a=1.429287196*10^12(米), T1=929620800(秒)

 

T=√[(1.429287196*10^12)^3/3.361637557*10^18]=931974028.4(秒)

 

η=T-T1=931974028.4-929620800=2353228.422 (秒)

 

[天王星]: a=2.882343514*10^12(米), T1=2651184000(秒)

 

T=√[(2.882343514*10^12)^3/3.361637557*10^18]=2668966752(秒)

 

η=T-T1=2668966752-2651184000=17782752.39(秒)

 

[海王星]: a=4.531315738*10^12(米), T1=5200416000(秒)

 

T=√[(4.531315738*10^12)^3/3.361637557*10^18]=5260912070(秒)

 

η=T-T1=5260912070-5200416000=60496070.31(秒)

 

[冥王星]: a=5.917941188*10^12(米), T1=7845120000(秒)

 

T=√[(5.917941188*10^12)^3/3.361637557*10^18]=7852004209(秒)

 

η=T-T1=7852004209-7845120000=6884209(秒)

 

通过上述计算我们发现, 既便是对偏心率较小的行星, 开普勒第三定律的计算误差也是相当大的, 其中最大的海王星的绝对误差达到η=60496070.31(秒)=700.185999日.

本来常数K= GM/4π^2与椭圆半长径a并无直接关系,根据万有引力定律,

 

V^2*R=GM,   [2πR/T1]^2*R =GM,   R^3/T1^2=GM/4π^2  (2)

 

公式(2) 按等效圆半径R轨道计算应该有R^3/T^2=GM/4π^2=3.361637557*10^18(米^3/秒^2),

即有与观测协变的常数K=3.361637557*10^18(米^3/秒^2), 不应该产生计算误差. 以海王星为例, 应该有T=T1, 和

 

V^2*R=GM,  V^2*VT/2π= GM,  V=(2πGM /T)^1/3   (3)

 

按公式(3) 算出海王星平均公转速度为

 

V=(2πGM /T)^1/3=5432.734537(米/秒)

 

等效圆半径 R=GM/V^2=4.49651127*10^12 (米), 即有常数

 

K=R^3/T^2=(4.49651127*10^12）^3/5200416000^2=3.361637557*10^18(米^3/秒^2)

 

T=√(R^3/K)= 5200416000(秒),   

 

而按开普勒第三定律计算的误差偏大并非产生在观测误差上, 而是来源于开普勒第二、第三定律基本原理的错误.

（本文计算取引力常数G=6.672*10^-11牛顿*米^2/千克^2, 太阳质量M=1.9891*10^30千克）