星体椭圆轨道计算习题

  按开普勒第三定律，在太阳系中沿椭圆轨道绕太阳运动的星体，凡是具有相同半长径a都应有相同的公转周期T, 而与半短径b无关,因为

        T^2=a^3/K

           
          http://s9/middle/6aadc792hb9c826bc3258&690

               图1 相同半长径不同半短径星体椭圆轨道示意图

 图1画出了在太阳系中不同偏心率的星体椭圆轨道，令：半长径a=1个天文距离=1.496*10^11（米）, 取不同的半短径b1=0.9a, b2=0.8a, b3=0.7a,……计算星体的平均公转速度V和公转周期T，偏心率e，近日点距q。

因为星体绕太阳沿椭圆轨道公转一周路程等于平均等效圆半径R的圆周长, 所以, 有

        2πR =2πb+4*(a-b)    (1)

[1]当星体为圆轨道(红) 时a =b=R, 据牛顿万有引力公式:

       V^2*R=GM,   (2)         V=√(GM/R),  V=29784.5(米/秒)

公转周期T=2πR /V, T=31558922(秒)=365.265(日)

[2] 当星体为椭圆轨道(绿)半短径为b1=0.9*a=1.3464*10^11(米), 按公式(1) 求出等效圆半径为 R1=1.44*10^11(米), 按式(2) 平均速度为V1=30358(米/秒), 公转周期

T1=2πR 1 /V1, T1=29803702(秒)=345(日)。偏心率e=√[(a^2-b^2)]/ a=0.436, 近日点距

q=a*(1-e)=8.44*10^10(米)

[3] 当星体椭圆轨道(兰)半短径为b2=0.8*a=1.1968*10^11(米), 按公式(1) 等效圆半径为 R2=1.387*10^11(米), 按式(2) 平均速度为V2=30932.72(米/秒), 公转周期等

T2=2πR2 /V2, T2=28173398(秒)＝326(日)。偏心率e=0.6，近日点距q=5.98*10^10(米)

[4] 当星体为椭圆轨道(黑)半短径为b3=0.7*a=1.0472*10^11(米), 按公式（1）等效圆半径为 R3=1.333*10^11(米), 按式(2) 平均速度为V3=31553(米/秒), 公转周期

T3=2πR3 /V3, T3=26544244(秒)＝307(日)。偏心率e=0.71，近日点距q=4.34*10^10(米)。

[5]当星体椭圆轨道半短径为b4=0.2* a=2.992*10^10 (米), 按公式(1) 等效圆半径为 R4=1.06*10^11(米), 按式(2) 平均速度为V4=35384(米/秒), 公转周期

T4=2πR4/V4, T2=18822609(秒)＝218(日)。偏心率e=0.979796，近日点距q=3022518400(米)。

[6] 当星体椭圆轨道半短径为b5=0.1* a=1.496*10^10 (米), 按公式(1) 等效圆半径为 R5=1.007*10^11(米), 按式(2) 平均速度为V5=36303(米/秒), 公转周期

T5=2πR5/V5, T5=17428814(秒)＝201(日)，这时星体偏心率为

e=√[(a^2-b^2)/ a]=0.9949874371 ，近日点距q=749879410(米)。

[7] 当星体椭圆轨道半短径b→0, 按公式(1) 等效圆半径为R6=9.524*10^10(米), 按式(2) 平均速度为V6=37329(米/秒), 公转周期T6=2πR6/V6, T6=16030753(秒)＝186(日)。偏心率e→1, 近日点距q→0.

 计算结果表明, 具有相同半长径a, 不同半短径b的星体具有不同的公转周期T与开普勒第三定律不符。

1.太阳系中，行星有相同半长径a，不同的半短径b，当星体半短径b由近似等于a到趋于0时，其偏心率e→1，因此，从公式(1)算出等效圆的半径R与椭圆半长径a之比(R/a)→(2/π)=0.6366182837。

2. 有相同半长径a不同半短径b的星体，b愈小偏心率e愈大，星体平均轨道速度V愈大, 其公转周期T也愈短。平均引力势能增大，当b→0时，平均引力势能增大的极限为1.5707倍。（本文计算取引力常数G=6.672*10^-11牛顿*米^2/千克^2,  太阳质量M=1.9891*10^30千克)