公理：“有限” 和“无限”两种情况就含盖了整个宇宙。
既 你所举出的任何元素 ，必在 “有限” 和“无限”两种情况之中。
有限和无限 在数学、物理、哲学逻辑 中的定义是一样的。
什么是有限？存在有限吗？
什么是无限？存在无限吗？

有限，是对元素进行限定。如：大小限定、多少限定、边界限定。
限定了边界，就限定了大小；
同理，限定了大小，就限定了边界；
得，有限属于确定性的无素，属整体性元素。
有限的定义：有完整边界的元素。
解释上定义：对元素进行了限定。对边界进行了限定。
有限的数理表达：0→R或 [r]
既有起点到止点，形成了边界。
如实数1，它的边界为：点0→点1。见数轴x轴上点0→点1的距离。
如平面几何面积，它的边界为周长。
如立体三维体，它的边界为表面积。
蓝球的边界为球的表面积，蚂蚁在球上，跳起离球表面就离开了边界，离开了球体。
由物理物质最小粒子，得 最小粒子是有限的。
一个最小粒子有限，为1 。
最小，则体积有限、质量有限。
我们现实中的物体 都由最小粒子组成。
如 由n个最小粒子组成了A物，得A为有限的。
两个最小粒子的最短连线，也是有限的。
能画出的所有线段 都是有限的。
能确定的元素 都是有限的。
上面证明了有限 是现实中存在的。所以抽象中（数）也存在。
所以，有限的定义是正确的。

无限的定义：确定的元素变化到没有完整的边界。
解释上定义：对元素没限定，或没完整的限定。
无限的数理式：R→...；[r,或 ：...R→...; ]r[。
既有人为划分的起点R，没止点；或没起点 也没止点。
无限也是存在的，如自然数列：1，2，3，4，.....
因为可以证明“没有一个最大自然数”，所以自然数必有无限个（或无限的过积）。
又直线是无限的、宇宙也是无限的。
上面证明了 无限元素存在。故无限的定义是正确的。
    
由公理得：极限必在 有限或无限之中。
极限的定义：对元素进行确定的限定，也叫极端的限定。
由有限和无限的定义：
得： 极限属有限范围之中。极限∈有限。
既：只有 “有限”才有“极限”。
“极限”与“无限”没关系。
1的极限是1，
5的极限是5，
pi的极限是pi，
√2的极限是√2，
0.333的极限是0.333，
在0.33333333取小数点后五位数的极限为：0.33333
在3.14159....取小数点后三位数的极限为：3.141
在0.33333333中，n→4 得 ：0.3333
在0.33333333中，n→7 得 ：0.3333333
无限 是没限定，没能限定。
无限 是无法限定。
极限是“有限”限定。
所以，无限元素0.3333....... 就是没极限，没法限定。
0.3333....... 就是无限 0.3333....... 。
所以，当 n→∞ 0.3333 时 就是无限，就是 0.3333....... 
注意：n→∞ 与极限（lim）是一对矛盾元素，两者不能自洽。
所以数学上常用的联立：n→∞ （lim）A=k 是悖论！是矛盾！是错误！
因为n→∞ 和lim 不能同时存在
得 ：0.3333....... 没极限！
得：3333....... 没极限！
得：....... 3333 没极限！
得：3.14159....没极限！
无限 是没限定，是没完整边界。
有限 是限定，是完整边界。
极限属有限。
所以，所有无限 没极限。
所有无限不是数。
无限≠数。
所以：0.3333.....=1/3  是错误的！
所以：n→∞ lim（1/1000...0）=0  是错误的！
所以：1/1000... 的极限是0 。 是错误的！

发散定义：元素的数值或量在某个方向上依次在变大。
数物表达：a，a+a1，a+a1+a2，a+a1+a2+a3，...，且：a＜a+a1＜a+a1+a2＜a+a1+a2+a3＜...
图示意：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f21ffd8038.png
见红色由小变大，见箭头 过程。
收敛定义：元素的数值或量在某个方向上依次在变小。
数物表达：a，a+a1，a+a1+a2，a+a1+a2+a3，...，且：a＞a+a1＞a+a1+a2＞a+a1+a2+a3＞...
示意图：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f2301332f0.png
见红色由大变小，见箭头 过程。

上面得：发散和收敛是相反的两个过程。
注意：过程 就受时间 关系。
人类容易误导的几个问题：
（一），散发一定会无限吗？也就是散发一定没极限吗？
分析一：如果 准许散发无限（则时间也无限）下去。得 ，散发一定无限；散发一定无极限。
分析二：如果 散发到一定时，停止了（时间停止了）。不再延续。得：此散发有限；此散发有极限。
见图示意：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f23ae7c5ef.png
蓝色就是极限把散发停了，整个就变为有限了。

（二），收敛一定有限吗？也就是收敛一定有极限吗?

这就得看是不是在收敛过程中停止收敛（有限收敛）还是无限的收敛过程？

分有限收敛和无限收敛过程中。

下图属于有限收敛的 收敛中止，见蓝色线就是它的极限，所以有极限。

http://s11/mw690/001X6tbNzy7hzHUf0MOba&690

 分析一：匀速和加速 数值收敛一定会有限、一定有极限。也属有限收敛。
图示意：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f25ce1134e.png
绿条之间为时间t，则是匀速收敛，一定会有两红色相交（相交就有限，交点为极限）
匀速和加速数值，就是时间t为数，不是非数。
匀速时间数值：t，t，t，....得数元素收敛一定会有限、一定有极限。
加速时间数值：t+t1，t+t1+t2，t+t1+t2+t3，....得数元素收敛一定会有限、一定有极限。
图示意：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f27241dbbf.png
绿条之间依次变宽，为时间加速，则是加速收敛，一定会有两红色相交（相交就有限，交点为极限）
分析二：速度无穷递减法， 收敛一定会无限、属无限收敛过程中，一定无极限。
速度无穷递减法：t/2，t/4，t/8，t/16....。收敛一定会无限、一定无极限。
见图示意：
http://qc-cache.kdnet.net/upload/2018/01/05/5a4f2883a2d1a.png
绿条之间依次变窄，为时间加无穷递减，则是无穷递减收敛，两红色永远不相交（不相交就无限，没交点就没极限）
总结：
大家被发散表象所骗，认为发散 会变大，永远无边界。
但规定了发散停止，则停止线就是边界。就是极限
大家被收敛表象所骗，认为收敛 会变小，变到交叉点。
但规定了变速无穷小，则你永远到不了 交叉点。