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http://baike.baidu.com/link?url=pA8starlky6H2epNIeoESyCYjKAIXIHytWInF1-3415Z0ofyqV_xLHJswwqaMDW4(见一元三次方程百度百科)
卡丹公式解一元三次方程有五六百年历史.欺骗了全世界所有人,尤其是数学家.

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 bx^2 cx d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高.

解法卡丹公式:
如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s=250/sign=1ef7c2d38ad4b31cf43c93beb7d7276f/9922720e0cf3d7ca2fd1e6e6f31fbe096b63a97f.jpg
    http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s=250/sign=b3a1388a2934349b70066980f9eb1521/55e736d12f2eb9380ddca362d4628535e4dd6fe9.jpg

    http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s=250/sign=5481784ef11f3a295ec8d2cba924bce3/f9dcd100baa1cd11aa5eabb0b812c8fcc2ce2db2.jpg


其中,http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s=220/sign=69e43c68a686c9170c03553bf93c70c6/0e2442a7d933c8952d6d40ebd01373f08202000b.jpg


第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω3^.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.


卡丹公式实际就是一个根.用了两个虚的数骗大家感觉是三个不同的根.

第二个致命性数学逻辑错误.
我举实例反:
以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

用卡丹公式方法设x=a+b.

解得:2a(2)^(1/3)=[-1±(-3)^(1/2)]^(1/3).......(3)
2b(2)^(1/3)=-[1±(-3)^(1/2)]^(1/3).......(4)
(3)+(4)得
:2(2)^(1/3)(a+b)=[-1±(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1±(-3)^(1/2)]^(1/).
上式即:
2(2)^(1/3)x=[-1±(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1±(-3)^(1/2)]^(1/).....(5)
把(5)式两边平方后,再把(5)式代入得
4x^2-2x-2=0..........(6)
解得x1=1
x2=-1/2.
代入(2)式验正,显然错误.

错误的根源我探索到了,但我现在不会说.也就是说全世界现在解一元三次方程的万能公式是错误的.虽然把卡丹公式的三个根代入http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s=220/sign=d98a60b3622762d0843ea3bd90ed0849/14ce36d3d539b6004a95d027e850352ac75cb7c3.jpg中也能使方程平衡,但其中犯了逻辑错误.
那个平衡是假的,是窄的.不是广义的.

卡丹用了一个错误的假设，再得出个错误根。只能`在错误的框框下成立。

    以公式：(sinα)^3-(3/4)sinα+sin3α/4=0    =====角 三倍公式

    按照卡公式原理解上题，设 x=a+b，....(1)

    代入上面公式后：a^3+3ba^2+3ab^2+b^3-(3/4)a-(3/4)b+sin3α/4=0

    令：3ba^2-(3/4)a=0 

    即： ab=1/4   ....(2)    ==========  上面是卡丹公式的核心思想。卡丹公式才化成一个一元二次方程。
（因为 ab=1/4   ....(2)代入这个方程中： a^3+3ba^2+3ab^2+b^3-(3/4)a-(3/4)b+sin3α/4=0  就是一个一元二次方程。）

    

    上面也是卡丹公式的漏洞。即卡丹公式不是万能的，不能解三角涵数三倍角方程。见下面：

    (1)(2)式得：x=a+1/（4a） ....(3)

    （3）式是错误的。因为：a+1/（4a）=[（2a)^2+1]/4a≥1

    即 （2a)^2-4a+1≥1

    因为 x的值域为 0≤x≤1

    而 （3）中的 a+1/（4a）≥1   ....(4)

    所以上面矛盾。

也就是说在(sinα)^3-(3/4)sinα+sin3α/4=0 中先设 sinα=a+b，就不能有之后的令：ab=1/4 了。