《数学课程标准》（2022版）指出“数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”由此可见，算理对于数的运算和算法的形成、掌握都起着十分关键的作用。

可是，在实际教学中，很多教师将计算教学简单化，为了让学生熟练掌握计算方法，并能正确、快速进行计算，常常忽视了计算教学背后对算理的理解。在小数乘法教学中，部分教师也是直接告诉学生列竖式时要先“末位对齐”，再按照整数乘法算出积，最后数一数因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。然后就让学生根据这个计算法则不断的重复做题，教师不断的重复注意事项。整个学习过程，学生学的累，教师教的累，因此也常常能听到老师们说“他们都做了那么多题了，还是不会。”这是因为他们对知识有疑问，虽然机械重复练习可以提高计算能力，但学生的思维得不到发展。所以，为了减少此类现象发生，为了学生能高效率学习，高质量发展，为了提高学生运算能力和思维能力。笔者首先收集学生错题，针对错题找到他们知识学习的困惑点，并提出对应的解决方法。

一、学生作业问题反馈

（一）笔算小数乘法为什么是末位对齐？

由于小数乘法是在学习小数加减法之后学习的，因此列竖式时，学生总是小数点对齐。比如图1，图2，图3的学生就是按照相同数位对齐列竖式。其中图3，学生为了保证它们位数相同，还特意在“0.6”的末尾添0，为了保证积与因数相同数位对齐，积“2.70”的“7”挤在了小数点和十分位之间。

另外，观察图4，图5，图6发现他们的竖式从书写，计算过程到积，整个过程都是小数点对齐的。在老师反复强调“小数乘法竖式是末位对齐”之下，图7耳熟能详，可是由于他不明白小数乘法为什么是“末位对齐？”所以在书写时依然在保证小数点对齐的情况下空着十分位，把十分位的“6”移到了百分位与“5”对齐。通过作业发现 “笔算小数乘法要末位对齐”是学生的一个困惑点。

（二）笔算小数乘法时中间过程的小数点为什么不写？ 

通过作业可以看出，学生在笔算小数乘法时没有转化为整数乘法计算，而是迁移整数乘法的方法，用第二个因数的每一位去依次乘第一个因数的每一位。比如图1，学生先算3个3.13的和是多少？是用第二个因数“53”个位上的“3”去乘第一个因数“3.13”的每一位得到积是9.39；再算50个3.13相加的和，即用第二个因数“53”十位上的“5”去乘第一个因数“3.13”的每一位得到积是156.5；最后再把两次的结果合起来是165.89。同样图2的学生也是先用第二个因数十分位上的“2”去乘第一个因数的每一位得到积是“0.48”，再用第二个因数个位上的“6”去乘第一个因数得到积“1.44（0）”，最后把两次的积合起来。针对图1，图2学生的想法，这样的书写是没有错的，中间过程的小数点可以写，但是这样每计算完一层的积都要点小数点，与转化为整数乘法比较，相对计算过程复杂一些。数学追求的是简洁性。

（三）小数乘法中积的小数位数为什么是因数小数位数的和？

通过上图我们可以看出，学生是根据小数点对齐来确定积的小数点的。究其原因是他们不理解“小数乘法中积的小数位数为什么是因数小数位数的和。”虽然这句话老师课堂上反复说了很多次，可由于不理解，即使练习了很多次还是会错。那到底积的小数点该点在哪儿呢？

以上三点就是本班学生在学习中比较困惑的地方。要解决这三个困惑其实要先帮助学生理解小数乘法的算理。算理就是“为什么这样算？”在教材中呈现的是根据“积的变化规律和小数点的移动”计算小数乘法的，但笔者觉得这并不能作为小数乘法的算理，这只是算法。算法的呈现要有算理做支撑，只有知道了“为什么？”，才知道“怎样做？”，算理和算法是相辅相成的。因此，在形成算法的过程中，应加强学生对算理的理解。下面我们就借助几何图形的直观性帮助学生理解小数乘法的运算算理。

二、小数乘法算理

“小数乘法”这一知识的教学应该借助学生已经学习的小数意义，乘法意义来引导学生建构其算理和算法，采用数形结合的方法进行探究理解。

（一）小数乘整数

教学“小数乘整数”时，通过解决“蝴蝶风筝每个9.5元，买3个需要多少钱”的问题，在探索如何计算“9.5×3”的过程中，学生都能将元转化为角进行计算。但脱离购买风筝的情境，单纯计算“9.5×3”的结果，大多数学生是根据乘法意义进行计算的。 但数字比较大时，学生会有些吃力。所以，理解小数乘整数的运算算理尤为重要。

 下面我们以 “9.5×3”为例分析其算理，“9.5×3”表示的是3个9.5的和，即（3个9）个一与（3个5）个0.1的和；也可以表示（3个95）个0.1的和。接下来我们就借助图形的形象直观性来帮助学生理解“小数乘整数”的计算算理。

1.画图理解（3个9）个一与（3个5）个0.1的和

首先，我们先画一个正方形表示1，9个一则画9个同样的正方形；而0.5表示的是5个0.1，这就需要再画一个正方形并把它平均分成10份，取5份。如下图所示，涂红色部分表示的就是9.5。由于表示3个9.5相加，所以需要这样的3组，如下所示：

现在我们结合图14来看，由于每份是9个一和5个0.1，那么3个9.5的和就是“（3个9）个一与（3个5）个0.1”的和，也就是“28.5”。这里的“（3个9）”是计数单位“一”的个数，“（3个5）”是计数单位“0.1”的个数。

2.画图理解（3个95）个0.1的和

此外，我们还可以将“9个一和5个0.1”的计数单位统一为0.1，如下图：

如图15，每份是“95个0.1”，3份就是“（3个95）个0.1”，这里的“（3个95）”是计数单位的个数，即“285”个，计数单位是“0.1”，合起来是“285个0.1”，即“28.5”。这里就很好的诠释了“小数乘整数”为什么可以转化为“整数乘法”进行计算，最后再点小数点。转化整数乘法计算其实算的是计数单位的个数，确定小数点的位置是计数单位与计数单位个数的结合。

（二）小数乘小数

“小数乘小数”的算理主要借助小数意义理解。比如“2.4×0.8”，既可以表示“2.4个0.8的大小”，也可以表示“0.8个2.4的大小”，对于接触整数四年的学生来说，这个含义还是难理解的，需要借助图形理解，这里为了画图方便，笔者将根据 “0.8个2.4”进行画图。由于2.4表示2个一和4个0.1，这里我们用一个正方形表示“1”，那么2.4就如下图涂色部分。

0.8个2.4是把这个2.4平均分成10份，取8份。相当于是把2个一和4个0.1都平均分成10份，再分别取8份，也就是16个0.1和（8个4）个0.01。即下图中的红色部分表示的就是0.8个2.4的大小。除此之外，我们还可以统一2.4的计数单位为“0.1”，那么“2.4就表示24个0.1。”即下图涂色部分。 

0.8个2.4是把24个0.1再平均分成10份，取8份。把24个0.1平均分成10份，也就相当于把这24个0.1的每个0.1都平均分成了10份。这时就产生了一个新的计数单位“0.01”，即“0.1×0.1=0.01”，又由于平均分了24个0.1，那么每份就是24个0.01，取8份，也就是“（8个24）个0.01”，用算式表示是“（8×24）×（0.1×0.1）”，如下图红色部分，每行是24个0.01，取8行。   

“8×24=192”算出的是积的计数单位个数，这里的“8”和“24”都是原计数单位的个数，所以“原计数单位个数×原计数单位个数=新计数单位个数”，“0.1×0.1=0.001”是“原计数单位×原计数单位=新计数单位”。 最后求192个0.01是1.92，是用“新计数单位个数×新计数单位=新的数”。结合图我们就可以很好的理解“小数乘小数”转化为“整数乘法”其实算的是积的计数单位个数，积的小数点的位置是由因数的小数位数之和决定，即新计数单位决定。比如一个因数的计数单位是0.1，另一个因数的计数单位是0.01，那么新计数单位就是“0.1个0.01”，即把0.01平均分成10份，每份是0.001，这个0.001就是新计数单位，即积的计数单位。

再比如0.73×0.46，0.73表示73个0.01，0.46表示46个0.1，73×46算出积的计数单位个数，0.01×0.01算出的积的计数单位。所以73×46的积小数点左移动两位就是7.3×4.6的积。

（三）画图理解“倍数是小数”

对于“倍”的认识，学生在三年级上学期就已经掌握，但学生比较熟悉的倍数是整数的情况，对于倍数是小数第一次接触，加之小数的抽象性，学生在将小数倍数转化为“几个几”时稍有困难。为了帮助学生充分理解和掌握小数倍数的知识，下面我们借助形象直观的图帮助学生理解。

比如4的2倍是多少？也就是求2个4相加的和是多少？用一个正方形表示1，那么用4个同样大的正方形表示4，2个4则是8。4的0.2倍则是求0.2个4的和，也就是把4平均分成10份，其中的2份就是4的0.2倍，如下图涂色部分。

结合图来看，把4横向平均分成10份，每份是4个 0.1，再取2份就是（2个4）个0.1，即0.8。其实这里把4平均分成10份，也相当于是把每个1都平均分成了10份，再取2份就相当于是每个1中都取2个0.1，合起来就是（4个2）个0.1。

三、 结合竖式沟通算理和算法，解答困惑

算理和算法是计算教学中不可或缺的两个方面，它们相辅相成。我们结合下图的竖式过程一一解答小数乘法学习中的困惑。

首先小数乘法是转化计数单位之后的整数乘法，如图22，“9个一和5个0.1”转化为计数单位“0.1”之后就是“95个0.1”，“95×3”计算的是积的计数单位个数285个。如图23，“2.4”转化计数单位后是“24个0.1”，“0.8”是“8个0.1”，“24×8”是“计数单位个数×计数单位个数”得到“积的计数单位个数”。同样“0.1×0.1”是“计数单位×计数单位”得到的“积的计数单位”。然后根据积的计数单位确定积的小数点的位置，所以积的小数位数是两个因数小数位数的和。

其次，小数乘法在计算过程中实质是先算出一共的计数单位个数，也就是转化为整数乘法求计数单位的总个数，所以小数乘法的竖式书写是按照整数乘法来写的，即“末位对齐”。另外，由于是按照整数乘法进行计算，那么笔算小数乘法中间过程的小数点也不用点，而且还可以起到书写简洁的作用。

四、沟通“整数乘法”与“小数乘法”的联系。

小数乘法与整数乘法有密切联系，它们的计算过程相同，运算本质相同，都是求计数单位的个数以及计数单位。比如20×400=2×10×4×100=（2×4）×（10×100），20表示2个十，400表示4个百，先算“2×4=8”求的是积的计数单位个数；再算“10×100” 求的是积的计数单位，所以积是8个1000，即8000。同样0.2×0.04=2×0.1×4×0.01=（2×4）×（0.1×0.01），其中0.2表示2个0.1，0.04表示4个0.01，那么“2×4=8”算出的也是积的计数单位个数，“0.1×0.01=0.001”算出的是积的计数单位。因此积是8个0.001，即0.008。

由此可见，无论整数乘法还是小数乘法，都是用“计数单位×计数单位=积的计数单位，计数单位个数×计数单位个数=积的计数单位个数”，因此整数乘法和小数乘法具有运算的一致性。数的运算其实是计数单位的运算。

五、 巩固练习，归纳总结法则

学生理解小数乘法的算理之后，就可以通过完成教材“做一做”的基础练习进行巩固。反馈时结合算理说一说计算过程，然后用自己的话总结归纳小数乘法的计算法则。最后全班交流自己的想法，结合竖式进一步梳理完善小数乘法计算法则。

计算小数乘法时，先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

理解算理是小学阶段所有运算教学的核心目标，是算法的依据，也是后续形成运算策略的基础。因此，在计算教学中还是要注重算理教学，加深他们对计数单位的理解，建立小数乘法的基本模型。

(昆明市官渡区付卫英)