比和比例错例剖析稿

比和比例是小学六年级学习的知识，这一部分的知识点有以下几个方面：

一、比和比例的意义及它们的基本性质

名称	意义	各部分名称	基本性质
比	两个数相除又叫做两个数的比。	5  ∶  3（  ）  ↓  ↓  ↓ 前项 比号 后项	比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
比例	表示两个比相等的式子叫做比例。	内项   外项 8∶6  =  4∶3	在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

 

 

二、比和除法、分数的关系

名称	意义	各部分名称（相当关系）
比 a∶b(b≠0)或（   ）	表示两个数相除	前项	比号	后项	比值
分数  (b≠0)	表示一个数	分子	分数线	分母	分数值
除法 a÷b(b≠0)	表示一种运算	被除数	除号	除数	商

   三、求比值与化简比

	意义	方法	结果
求比值	前项除以后项所得的商	用前项除以后项	一个数（整数、小数、分数）
化简比	把两个数的比化成最简单的整数比	①     运用比的基本性质 ②也可先求出比值，再将比值写成最简比	一个最简单的整数比（前项和后项）

四、    组比例与解比例

组比例∶把比值相等的两个比用等号连接起来。

判断两个比能否组成比例，一种方法是求出两个比的比值，若比值相等，就可以组成比例；另一种方法先假设两个比已组成比例，分别求出内、外项的积，若积相等，则能组成比例。

解比例：求比例中的未知项。

五、    比例尺

图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

用式子表示为∶

图上距离∶实际距离=比例尺  或   图上距离/实际距离=比例尺

在小学阶段我们主要学习数值比例尺和线段比例尺。

六、按比例分配：把一个数量按照一定的比例进行分配。

这些知识我想大家并不陌生，今天我有幸与全区的六年级老师对这一单元的知识进行交流探讨，我感到十分高兴。我和所有的老师一样，很喜欢学生把每天的作业都做对，但我还有一个特点，那就是我还喜欢学生做错的题，注意是喜欢学生做错的题，而不是喜欢学生做错题。对于学生出现的错题，我不生气，相反我却“如获珍宝”。把学生的这些错题收进我的“收藏室”，然后放入“诊断室” ，观察它分析它。今天老师就把这些“宝”拿出来，和你们一块交流探讨，希望大家能够从中获益。

（一）   比和比例的意义和性质

错例1、判断：比就是除法，比就是分数。（  √ ）

错因剖析：产生错误的原因是学生没有搞清比、除法和分数三者之间的区别。误认为比就是分数，比就是除法。我们经常看到这么一个等式：“3∶2=3÷2=3/2”，学生对这个等式有片面的理解。“3∶2=3÷2=3/2”这一等式有两个意义，第一指的它们的值是相等的，第二个意义是指，比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子；比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母；比值相当于除法中的商，相当于分数的分数值。这个意思在我们的课本里讲得很清楚，不能把“相当于”改为“等于”或“就是”。为什么不能改呢? “比”、“除法”和“分数”三者是各不相同的；“比”是表示两个数之间的一种倍比关系，“除法”是一种运算，“分数”是一个数。所以比、除法和分数是三个既有相互联系而又有区别的概念，“比就是除法，比就是分数”这种说法是错误的。

错例2、判断：只有同类量才能相比。（√ ）

错因剖析：产生错误的原因是学生没有很好地理解比的意义，误认为比就是“比较两个数或两个同类量的倍数关系。什么是比？“两数相除又叫两个数的比”，显然，根据这个规定，同类量与不同类量都可以比了。比如路程和时间的比，得出速度。诚然，这并不意味着“任何两个不同类的量，都可以比。比如人的年龄与一辆汽车每小时行70千米的比，就没有任何意义了。正确说法应该是“同类量可以相比，有些不同类量也可以相比。”

错例3、张老师买了3个排球用了43.5元。写出买排球钱数与买排球个数的比，并求出它的比值。

错误答案：43.5∶3=43.5÷3=43.5/3

错因剖析∶产生错误的原因有两点，第一学生对题目要求没弄清楚，这道题有两个要求，一个是写出买排球钱数与买排球个数的比，第二个要求是求出它们的比值。所以这道题应该分开来做。第二个错误就是对求出的比值应该是怎样的一个数不理解，误认为43.5/3是要求的比值。比值是比的前项除以比的后项得出的商，是一个数，一般用整数、小数或最简分数表示。把比值写成43.5/3，这不是一个最简分数，是错误的。应该写成29/2或14.5。这道题的正确解答应该是：买排球钱数与买排球个数的比是：43.5∶3=29︰2；比值是：43.5∶3=43.5÷3=14.5，两个问题分开答。

错例4、判断：化简6∶8和求6∶8的比值，得数都得四分之三。（√  ）

错因剖析：产生错误的原因是学生没有理解和掌握“化简比”与“求比值”的区别。误认为化简6∶8和求6∶8的比值得数都是四分之三。是不是这样的呢？我们来看一看：化简比6∶8=3∶4或写成（3/4）；6∶8的比值是3/4，若仅仅从现象上看都是3/4。而从它们的实质上看“化简比”的结果是一个比，写成3∶4或3/4都是比，这里的3/4只能读作三比四，而不能读作四分之三。而求6∶8的比值是3/4，它是一个数，只能读作四分之三，而不能读作三比四，更不能写成3∶4。正确解答：化简6∶8后得3∶4；求6∶8的比值得到的3/4是一个数。

错例5、判断：比例分成正比例和反比例。（√ ）

错因剖析：产生错误的原因是学生对“比例”、“正比例”、和“反比例”这三个概念的关系不理解。误认为比例可分成正比例和反比例。 

“比例”、“正比例”和“反比例”这三个概念的关系是并列的关系，而不是包含关系。

“比例”是指表示两个比相等的式子。

“正比例”和“反比例”是指两种相互关联的量之间的一种关系。所以比例分成正比例和反比例这种说法是错误的。

二、比例尺

错例1、判断：一幅地图上1厘米代表30千米，这幅地图的比例尺是1/3000000厘米。（√ ）

错因剖析：比例尺表示的是图上距离和实际距离的比，它表示两个数间的关系，并不表示具体的数量，所以比例尺后面是不带单位名称的。

我们知道两个同单位相除或相比，所得的结果后都是没有单位名称的。所以比例尺用1/3000000厘米或1∶3000000厘米表示是错误的。

错例2、选择∶在一幅地图上，用4厘米表示800千米，这幅地图的比例尺是（A）

 A .   1/200000             B.1/2000000          C.1/20000000

错因剖析：学生把千米和厘米之间的进率搞错了，误认为800千米等于80000厘米。

我们应该熟记1千米=1000米（1后面添上3个0），我们又知1米=100厘米，再在1000米后面添上2个0，所以1千米=100000厘米，也就是千米变米，1后面添上5个0。

4厘米∶800千米

  =4厘米∶80000000厘米

  =1∶20000000

错例3、在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A城到B城的距离是17.6厘米。求A城到B城的实际距离大约是多少千米？

错答：解∶设A城到B城的实际距离大约是x千米。

17.6/x=1/4000000

X=17.6×4000000

X=70400000

答：A城到B城的实际距离是70400000千米。

错因剖析：产生错误的原因是图上距离与实际距离的长度单位不统一，解题时，设未知数错选了长度单位（千米），这是致错的主要原因。应设实际距离为x厘米，求得结果后再化为千米。

错例4、一张设计图的比例尺是1/40，图中的一个长方形大厅长60厘米，宽45厘米，这个大厅的实际面积是多少平方米？

错答：（1）60×45=2700（平方厘米）

     （2）解：设这个大厅的实际面积是X平方厘米。

           2700/X=1/40

              X=2700×40

              X=108000

       （3）108000平方厘米=10.8平方米。

       答：这个大厅的实际面积是10.8平方米。

错因剖析：产生错误的原因学生把图上距离/实际距离=比例尺，错误地迁移到图上面积/实际面积=比例尺，比例尺是两个长度间的比，并不是面积的比。要求这个大厅的实际面积，应知道这个大厅实际的长和宽，那就要先根据比例尺和图上距离求出实际的长和宽，再求实际面积。

正确解答：（1）60÷1/40=60×40=2400（厘米）

          (2)45 ÷1/40=45 ×40=1800（厘米）

         （3）2400厘米=24米，1800厘米=18米

        （4）24×18=432（平方米）

          答：这个大厅的实际面积是432平方米。

三、按比例分配

错例1、学校生物兴趣活动小组饲养白兔、黑兔和灰兔，它们的只数比是2︰3︰5，已知灰兔和白兔共70只。求三种兔子各有多少只？

（1）2+3+5=10

（2）70×2/10=14（只）

70×3/10=21（只）

70×5/10=35（只）

         答：白兔有14只，黑兔有21只，灰兔有35只。

错因剖析：这道题学生错把灰兔和白兔的总只数看作三种兔子的总只数，70只只是2︰5所对应的总只数，我们可以先求出灰兔和白兔各有多少只，再求黑兔的只数。（出示正确答案）：（1）2+5=7

（2）白兔只数：70×2/7=20（只）

灰兔只数：70×5/7=50（只）

（3）黑兔只数：20÷2×3=30（只）  或50÷5×3=30（只）

答：白兔有20只，黑兔有30只，灰兔有50只。

大家解题时一定要弄清楚所给数量是部分量还是总量。

错例2、甲、乙、丙三个数的平均数是270，它们的比是2∶3∶4，这三个数各是多少？

2+3+4=9

甲：270×2/9=60

乙：270×3/9=90

丙：270×4/9=120

答：甲数是60，乙数是90，丙数是120。

错因剖析：产生错误的原因是学生把甲、乙、丙三个数的平均数270当作要分配的总数。在解按比例分配问题时，必须准确地找出总数与要分配的比。这道题是间接给出了总数，而不是直接给出的。根据“甲、乙、丙三个数的平均数是270，可以求出它们的总数。然后再按比例分配。

正确解答：

（1）总数量：270×3=810

（2）总份数：2+3+4=9

（3）甲：810×2/9=180

乙：810×3/9=270

丙：810×4/9=360

答：甲数是180，乙数是270，丙数是360。

思考：

一个长方体铁块，棱长总和是80厘米，长、宽、高的比是5∶3∶2，求这个长方体的体积是多少？

同学们，由于时间关系，我不能把更多的错例给大家一一列举出来，希望今天带给大家的这些错例，能给你以启发，今后学习数学时，一定要理解概念的实质，掌握正确的解题方法，祝愿你们以后数学学得更加轻松快！。谢谢大家，再见。