本文应该是世界级顶尖科学成果，有较难的元数学内容。读者不仅要具备数理逻辑、元数学(证明论)、三次数学危机知识，并需对哥德尔不完全性定理及不可证命题有深刻的理解，而且要具备狭义相对论、量子力学、广义相对论、现代宇宙学等知识，才可能读懂和理解文章的全部内容。

 

  第四次数学危机及其导致的物理学危机

      李子   李晓露

摘要  本文证明了第四次数学危机。并证明了该危机导致了物理学的危机。提出了化解第四次数学危机的方案。

关键词 第四次数学危机  希尔伯特计划  一致性  数理逻辑 集合论  形式数论公理系统  洛伦兹坐标变换  黎曼几何  狭义相对论  量子力学  广义相对论  现代宇宙学

1．前言

由百度百科“第三次数学危机”可得：第三次数学危机是罗素在集合论发现了罗素悖论，证明了逻辑与集合论是矛盾的。

罗素悖论动摇了整个数学的基础。逻辑与集合论不再是可靠的。自然数的算术也成问题，并导致所有数学理论(包括黎曼几何、欧几里得几何、代数)的无矛盾性都没有得到证明，整个数学大厦都动摇了。因此，震动了数学界，第三次数学危机由此引发。

通过数学家们对集合论的多次修改，将集合的构造公理化，排除了这类悖论集合的存在性。

例如，在策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZF公理系统（也称ZFC公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等），这样无法定义出悖论的集合。消除了已发现的集合论中的悖论。第三次数学危机就此在一定程度上得到解决。

2．第四次数学危机^[1]

一阶理论是一阶逻辑的一个扩充。一阶算术系统包含命题演算公理系统和一阶谓词演算系统。

集合论是以命题演算公理系统和一阶谓词演算系统为基础的数学理论。罗素和怀特海《数学原理》中的形式数论公理系统N也包含命题演算和一阶谓词演算系统。

李子发现和证明了命题演算公理系统存在无数个悖论。简称“李子悖论”。数学再次出现危机。

      2.1实质蕴涵存在悖论

    设计一个实质蕴涵命题a，a：（p→p）→ ¬ a

     （p→p）是永真式，其值恒真。

根据逻辑学^[2]五个真值表：如果a真，则¬a假，则实质蕴涵命题：（（p→p）→ ¬ a）为假，即a假。

   如果a假，则¬ a真， 根据五个真值表可得：（（p→p）→ ¬ a）为真。

   请问a的真假？

 a构成了一个悖论。

    2.2析取命题悖论

    命题b：（p∧¬ p）∨¬ b

   （p∧¬ p）是永假式，其值恒假。

    如果b真，则¬ b假，根据五个真值表可得：（（p∧¬ p）∨¬ b）为假,即b假。
      如果b假，则¬ b真， 根据五个真值表可得：：（（p∧¬ p）∨¬ b）为真,即b真。

    请问b的真假？

 b也构成了一个悖论。

   2.3合取命题悖论

命题c：（p→p）∧¬ c

   （p→p）是永真式，其值恒真。
      根据五个真值表：如果c真，则¬ c假，则命题：（（p→p）∧¬ c）为假，即c假。

    如果c假，则¬ c真，根据五个真值表可得：（（p→p）∧¬ c）为真,即c真。

    请问c的真假？ 

      c构成了一个悖论。

    2.4等值命题悖论

    命题d，d：（p→p）↔ ¬ d

   （p→p）是永真式，其值恒真。

   根据五个真值表：如果d真，则¬ d假，则等值命题：（（p→p）↔ ¬ d）为假，即d假。

   如果d假，则¬d真，根据五个真值表可得：（（p→p）↔ ¬d）为真,即d真。

   d构成了一个悖论。
    问题还不仅如此，悖论2.1、悖论2.2、悖论2.3、悖论2.4表明以任何一个命题代入其中，都会构成悖论。

    如将任意一个命题¬ p、p∨q、p∧q、¬ p∨q、¬p∨¬q、……代入悖论2.1、悖论2.2、悖论2.3、悖论2.4的p，就会产生无数个悖论。

    而若将任意一个永真式（如：¬ p∨p、p→¬ ¬ p……）替换悖论2.1、悖论2.3、悖论2.4中的（p→p），也会产生无数个悖论。

   若将任意一个永假式替换悖论2.2中的（p∧¬ p），同样会产生无数个悖论。

   这些悖论的大量存在，对数学理论的影响是相当大的,几乎是一个灾难。它标志着一切以命题演算公理系统为基础的数学理论，包括罗素和怀特海的形式数论公理系统N、集合论，都陷入了自相矛盾的危机之中。所有数学理论的一致性、可靠性深受其影响，并且影响到一切以数学为工具的科学理论的可靠性。

数学面临第四次危机！

3．哥德尔不完全性定理导致第四次数学危机

3．1哥德尔不完全性定理

由百度百科“哥德尔的第一不完全定理”可得：“哥德尔是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔所发现的被称为“20世纪最有意义的数学真理”当中，最杰出、最具有有代表性、最有震撼力的是哥德尔不完全性定理。”

哥德尔的第一不完全定理：设系统N包含有一阶谓词演算与初等数论。如果N是一致的，则存在命题T在N内不可证。如果N是ω一致的，则¬T在N内不可证。^{[3] [4]}

哥德尔的第二不完全定理：如果系统N包含有一阶谓词演算与初等数论，则当N无矛盾时，它的无矛盾性不可能在N内证明。^{[3] [4]}

3．2哥德尔第二不完全性定理导致第四次数学危机

引理3.1 令L′是L的一致扩充，A是L的合式公式且不是L′的定理。如果现在再构造L的扩充L′′，它通过对L′补加¬A作为新公理而得到，那么L′′也是一致的。^[4]

在证明哥德尔的第二不完全定理中，已将哥德尔第一不完全定理形式化表达为：在N内┣consN→T。其中consN符号表达的是“N是一致的”。^{[3] [4]}

显然，如果在N内┣consN，则根据分离规则可得┣T。

则由哥德尔的第一不完全定理的证明可得：在N内┣ ¬ T，即N不一致。

因此，当N无矛盾时，它的无矛盾性consN不可能在N内可证。即哥德尔的第二不完全定理成立。

然而，因在N内┣consN→T，而N包含命题演算公理系统。在N内有定理：

┣（p→q）→（¬ q→ ¬ p），由分离规则可得定理：

┣ ¬ T→ ¬ consN

由引理3.1可得：N存在一致扩充，¬ T作为新公理扩充给N，即┣ ¬ T。则可组成新系统N′′。由此可得：

┣ ¬ consN，即N′′系统可证N是不一致的。又因N是N′′系统的子系统，因此，在N′′系统内可证本系统N′′不一致。

如果N一致，则由引理3.1可得N′′必然一致。现已证

N′′不一致，则必可得N不可能一致。

N不一致，则所有包含形式数论公理系统N的理论不一致。因此，以命题演算公理系统为基础的集合论、罗素和怀特海《数学原理》中的形式数论公理系统都不一致。则所有数学理论的一致性、可靠性未得到证明。

这再次证明：数学面临第四次危机！

4．黎曼几何不一致定理导致的第四次数学危机

4．1数学家们已经证明的相对一致的(自洽的)数学理论^[5]

(1)意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型证明了非欧几何学相对于欧几里得几何学是不矛盾的。即如果欧氏几何无矛盾，则非欧几何必无矛盾。

(2)希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特把几何学公理的无矛盾性变成了实数算术的无矛盾性。即如果实数算术无矛盾，则几何学无矛盾。

(3)戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析(微积分、微分几何）建立在实数理论的严格基础之上，并且进一步把实数算术的无矛盾性归结成自然数论的无矛盾性。即如果自然数论无矛盾，则实数算术无矛盾。

(4)弗雷格和戴德金又把自然数论的无矛盾性归结为逻辑与集合论。即如果逻辑与集合论无矛盾，则自然数论术无矛盾。

根据(1)可得：如果欧氏几何无矛盾，则非欧几何必无矛盾。由逻辑学可证：如果非欧几何矛盾，则欧氏几何矛盾。

同理可证：如果欧氏几何矛盾，则实数算术矛盾。

如果实数算术矛盾，则自然数论矛盾。

如果自然数论矛盾，则逻辑与集合论矛盾。

4．2黎曼几何不一致定理^[6]

李子、李晓露在《黎曼几何不一致定理》^[6]文中，证明了黎曼几何不一致。

由逻辑学可证：如果黎曼几何不一致，则包含黎曼几何的非欧几何必不一致。

由数理逻辑分离规则可得：非欧几何不一致。

根据本文4.1证明和分离规则可得：欧氏几何矛盾、实数算术矛盾、自然数论矛盾、逻辑与集合论矛盾。

由此可得：数学所有理论(包括黎曼几何、代数、洛伦兹坐标变换、微积分、微分几何)都是矛盾的(不一致的)。

全部数学理论在整体上出现了生死存亡的危机。第四次数学危机是一个全面、深刻的科学危机。

5．第四次数学危机必导致物理学的危机

如果代数、微积分不一致，则代数、微积分不正确。由此可得狭义相对论的洛伦兹变换代数公式、钟慢效应代数公式、质速关系代数公式、狭义相对论力学微分代数基本方程、质能关系代数公式、广义相对论的引力场微分代数方程、量子力学的代数方程及其推导、现代宇宙学、超弦理论、M理论等几乎所有理论的数学推导、计算全部不正确。

如果黎曼几何不一致，则黎曼几何不正确。由此可得以黎曼几何为依据的广义相对论不正确。并导致以广义相对论为依据的现代宇宙学不正确。还导致2019年4月10日21时，全球六地多国科研人员合作，多重“验证”的，由广义相对论推导的黑洞，存在不公正的验证。

这种对已被证明错误理论的实践验证，存在实践者选择性实践问题。如“证实”狭义相对论的钟慢效应的实践。

根据狭义相对论的钟慢效应，相对运动坐标系K′原点时间△t′比“静止”坐标系K同步钟的时间△t慢。由钟慢效应公式推导可得：因GPS卫星相对地球以线速度u运动，则其原子钟每天比地面原子钟慢7us。通过实测，与实践事实基本吻合，由此实践验证了狭义相对论的钟慢效应符合事实，验证了狭义相对论正确。

然而，该实践事实同时证明了地面原子钟比GPS卫星原子钟每天快7us。

因地球相对GPS卫星运动，根据钟慢效应公式同理可得：地面原子钟应该比GPS卫星原子钟每天慢7us，而事实相反。这证明狭义相对论的钟慢效应不符合事实，验证了狭义相对论不正确。并且，狭义相对论是广义相对论的基础，依据这个实践，就可得：广义相对论不正确。

但主流科学家们不这样做，只选择验证相对论是对的，不选择验证相对论错的，存在不公正的验证。

数学危机不仅导致数学出现生死存亡的危机，而且导致一切以数学理论推导的其他科学理论(包括相对论、量子力学、现代宇宙学、超弦理论、M理论等)几乎所有理论，都出现生死存亡的危机。

6. 当代物理学家对数学危机的无知

20世纪以来，包括当代西方、中国现职大部分物理学家们，对数学的危机缺乏足够的了解或无知，认为数学只是一个工具，是否正确无关紧要。特别是现职有话语权的物理学家为了保其社会地位、科研成果和饭碗，坚决反对不同观点。

然而一问其：请你给出你理论中数学(如洛伦兹坐标变换数学理论、黎曼几何)的绝对一致性(或正确)的证明？则无人给出证明。

而且，当代西方、中国现职大部分物理学家们对元数学理论的一致性标准，不清楚、不了解、不关心。他们一方面在自己发表的论文中都用数学公式来证明自己的物理论文是正确的；而另一方面却又不愿接受数学界的希尔伯特计划，及哥德尔不完全性定理证明的第四次数学危机。

2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的。这证明霍金认可哥德尔不完全性定理。

爱因斯坦晚年期望建立完备、自洽的(一致的)大统一理论。这里的“自洽”字典解释就是自相一致。完备、自洽的概念来源于元数学，这证明爱因斯坦也认可元数学，知道理论不能自相矛盾，必须自洽。

然而一要求物理学家们给出相对论自洽的证明时，则无人回答。

如果物理学家们连相对论中所包含的数学(洛伦兹坐标变换、黎曼几何、代数、微积分等)是否自洽都不知道，又怎能证明相对论自洽呢？

如果去掉数学的内容，则几乎所有科学都无法存在。如去掉代数，则狭义相对论的4个洛伦兹坐标变换(代数)公式、钟慢效应(代数)公式、质速关系(代数)公式、狭义相对论力学(代数)基本方程、质能关系(代数)公式全部不存在。

如去掉黎曼几何的内容，则广义相对论的引力场方程不成立。

因此，如果去掉数学的内容，则狭义相对论、量子力学、广义相对论、现代宇宙学、超弦理论、M理论等都无法存在。

数学不仅是物理学证明其观点、结论的依据，而且是物理学必不可少的内容。

数学理论的一致性(自洽)是理论物理学一致性(自洽)的基础和必要条件。

因此，数学危机不仅导致数学出现生死存亡的危机，而且导致一切以数学理论推导的其他科学理论(包括相对论、量子力学、现代宇宙学、超弦理论、M理论等)几乎所有理论，都出现生死存亡的危机。

7．第四次数学危机的化解

在《李子逻辑学》^[7]认为命题的值不仅有真假二值，还有多值命题和虚值命题（悖论）。物理学也存在多值命题（如量子力学的概率事件）和虚值命题（如广义相对论的时间机器悖论）。

《李子逻辑学》让大家重新认识命题的种类，将命题分为三类，区分了二值命题、多值命题（偶然性命题、或然性命题）和虚值命题（悖论），用三个公理系统各自进行演算并且互相关联。从而将悖论与二值命题分离，只能进入各公理系统进行演算，化解了悖论难题。

虽然悖论p是虚值命题，但命题（p ↔ ¬ p）在《李子逻辑学》却是二值命题，是可以判定和证明其真假的，这是二值命题与虚值命题的关联。因此，悖论也有真悖论和假悖论之分。

虚值命题与虚数相似，虚数在现实真实世界并不存在，如科学家无法实际测量1米×i的长度，1秒×i的时间和1公斤×i的重量，无法确定事实情况，但虚数与实数有关联，i^2= -1。而悖论自相矛盾，也无法通过事实检验，如不可证命题悖论。悖论p不能确定其真假，其值为i，称为虚值命题，但命题（p ↔ ¬ p）是真命题。

在《GEB-一条永恒的金带》^[8]书中的图2上升与下降是利用人的视觉上的错觉，虚构的图画，与悖论相似，不能在事实上建造这种楼梯。图画脱离事实，不是真实的建筑物，但可以画出来。

《李子逻辑学》可以化解第四次数学危机并彻底解决一直困扰人们的悖论问题。并为开发判定命题真假和计算、论证信息真假及决策的多值计算机和人工智能系统，提供基础理论。

 

参考文献

 

[1] 第四次数学危机及其影响(2)，李子、李晓露

[2] 莫绍揆 徐永森 沈百英，数逻理辑，北京：高等教育出版社1984

[3]莫绍揆，B6证明论，现代逻辑科学导引（上册），中国人民大学出版社，1987年。

[4] 朱水林著，哥德尔不完全性定理，沈阳：辽宁教育出版社，1987年。

[5] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985年。

[6]黎曼几何不一致定理，李子、李晓露

[7] 二值命题论证公理系统I，李子、李晓露

[8] 乐秀成编译，GEB-一条永恒的金带，成都，四川人民出版社，1984年。

[9]多值命题论证公理系统II（待发表）李子、李晓露

[10]虚值命题论证公理系统III（待发表）李子、李晓露

[11]郑毓信编著，现代逻辑的发展，沈阳：辽宁教育出版社，1988年。

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