第三次数学危机对物理学的巨大影响

—数学危机与物理学(3)

李子   李晓露

摘要  本文介绍了第三次数学危机，及其对物理学的巨大影响。

关键词   第三次数学危机  希尔伯特计划  一致性  数理逻辑  集合论  形式数论公理系统  洛伦兹坐标变换  黎曼几何  狭义相对论  量子力学  广义相对论  现代宇宙学

1．前言

由百度百科“第三次数学危机”可得：“数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

罗素悖论的精确表述：

如果存在一个集合A={x | x∉ A }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么x∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着”。

   2．悖论动摇了整个数学的基础

2．1为什么罗素悖论会动摇整个数学的基础？

由百度百科“希尔伯特计划”可得：“希尔伯特计划是一个由大卫希尔伯特在1920年提出的数学计划。是一个关于公理系统相容性(一致性、不矛盾)的严谨证明的一项计划。又称证明论计划，是在20世纪初数学奠基问题的论战中，由D.希尔伯特提出的旨在保卫古典数学、避免悖论以解决数学奠基问题的一种方案。

20世纪初，悖论尤其是罗素悖论的出现，引起了当时数学界和逻辑界的极大震动。它直接冲击了以严谨著称的数学和逻辑学科，动摇了传统的数学概念、数学命题和数学方法的可信性标准，也就是说悖论的出现关系到整个数学的奠基问题，从而引起所谓的第三次数学危机。

这个计划的主要目标，是为全部的数学提供一个安全的理论基础。具体地，这个基础应该包括：

所有数学的形式化。意思是，所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。

完备性

我们必须证明以下命题：在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。

相容性(又称一致性、不矛盾性、自洽性)

我们必须证明：运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。

保守性

我们需要证明：如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。

确定性

应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。

在希尔伯特看来，每一门数学都可以看成基于它的公理的一个演绎系统，它们是根本不会产生逻辑矛盾的，亦即是协调的(又称无矛盾的、一致的、自洽的)。数学的可靠性就在于它的协调性（即无矛盾性）。协调性问题在非欧几里得几何学创立时曾经讨论过，当时为了证得非欧几何的协调性是把它化归到欧氏几何的协调性，即如果欧氏几何无矛盾则非欧几何亦无矛盾。这是一种相对的证明方法，若要证明整个数学无矛盾，就不能再用这种化归的方法，而是要求给出“绝对的”证明。为此，希尔伯特提出了著名的证明论计划。”

2．2数学家们已经证明的相对一致的(自洽的)数学理论^[1]

(1)意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型证明了非欧几何学相对于欧几里得几何学是不矛盾的。即如果欧氏几何无矛盾，则非欧几何必无矛盾。

(2)希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特把几何学公理的无矛盾性变成了实数算术的无矛盾性。即如果实数算术无矛盾，则几何学无矛盾。

(3)戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析(微积分、微分几何）建立在实数理论的严格基础之上，并且进一步把实数算术的无矛盾性归结成自然数论的无矛盾性。即如果自然数论无矛盾，则实数算术无矛盾。

(4)弗雷格和戴德金又把自然数论的无矛盾性归结为逻辑与集合论。即如果逻辑与集合论无矛盾，则自然数论术无矛盾。

罗素在集合论发现了罗素悖论，证明了逻辑与集合论是矛盾的，导致以上数学理论(包括黎曼几何、欧几里得几何、代数)的无矛盾性没有得到证明。

由此可得：数学整体不再是可靠的、正确的。因此，罗素悖论，震动了整个数学界，第三次数学危机由此引发。

这是全部数学理论在整体上出现了生死存亡的危机。

3. 第三次数学危机对物理学、宇宙学理论的生死存亡影响。

如果黎曼几何不正确，则以黎曼几何为依据的广义相对论不正确。并导致以广义相对论为依据的现代宇宙学不正确。

如果代数不正确，则狭义相对论的洛伦兹变换理论、广义相对论的引力场方程、量子力学的代数方程及其推导、现代宇宙学、超弦理论、M理论等几乎所有理论的数学推导、计算全部不正确。

数学危机不仅可导致数学出现生死存亡的危机，而且导致一切以数学理论推导的其他科学理论(包括相对论、量子力学、现代宇宙学、超弦理论、M理论等)几乎所有理论，出现生死存亡的危机。

20世纪以来，包括当代西方、中国现职大部分物理学家们，对数学的危机缺乏足够的了解或无知，认为数学只是一个工具，是否正确无关紧要。特别是有话语权的物理学家为了保其社会地位和饭碗，激烈反对不同观点。

然而一问其：请你给出你理论中数学(如洛伦兹坐标变换数学理论、黎曼几何)的绝对一致性(或正确)的证明？则至今无一人给出证明。

而且，当代西方、中国现职大部分物理学家们对元数学理论的一致性标准，不清楚、不了解、不关心、不愿接受不同观点。却在自己发表的论文中大量应用数学公式证明其理论是正确的。

如果去掉数学的内容，则几乎所有科学都无法存在。如去掉代数、黎曼几何的内容，则狭义相对论、量子力学、广义相对论、现代宇宙学、超弦理论、M理论等都无法存在。

因此，数学不仅是物理学证明其观点、结论的依据，而且是物理学必不可少的内容。

数学理论的真实、自洽是理论物理学真实、自洽的必要条件。

4．三次数学危机的化解

欧几里得证明了毕达哥拉斯学派的“宇宙中的一切现象都能归结为整数或整数之比”的观点自相矛盾，导致了数学第一次危机。其结果是，数学家们抛弃了毕达哥拉斯主流学派的错误观点。

欧几里得创新了至今仍是初中教科书内容的数学理论欧几里得几何学。

微积分的无穷小x既等于0又不等于0的自相矛盾，导致了数学第二次危机。

戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析(微积分）建立在实数理论的严格基础之上，并且进一步把实数算术的无矛盾性归结成自然数论的无矛盾性。

极限limx→0，表示“无限靠近0而永远不能到达0”的意思。从而化解了数学第二次危机。

罗素在集合论发现了罗素悖论，证明了逻辑与集合论是矛盾的，导致了第三次数学危机。

由百度百科“第三次数学危机”可得：“数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。

例如，在策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZF公理系统（也称ZFC公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等），这样无法定义出悖论的集合。第三次数学危机就此在一定程度上解决”。

至此，数学危机、相对论危机、科学危机似乎告一段落。

5．数学危机的再现

李子、李晓露《第四次数学危机》^[2]文中，在集合论、罗素和怀德海的《数学原理》形式数论公理系统发现了无数个李子悖论，证明了逻辑与集合论是矛盾的。

并且，根据哥德尔第二不完全性定理，在罗素和怀德海的《数学原理》形式数论公理系统N内证明，N是不一致的。导致了第四次数学危机。

集合论、形式数论公理系统的李子悖论，证明了康托尔的《逻辑与集合论》、罗素和怀德海的《数学原理》形式数论公理系统N是矛盾的。并由此可证：数学所有理论绝对的一致性都没有得到证明。表明数学所有理论的正确性、可靠性再次面临考验。

特别是李子、李晓露证明了《黎曼几何不一致定理》^[3]，证明了黎曼几何不一致。

意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型证明的非欧几何学相对于欧几里得几何学是不矛盾的。即如果欧氏几何无矛盾(p)则非欧几何必无矛盾(q)。

根据数理逻辑学^[4]定理：(p→q)→(¬q→¬p)，可得：

如果非欧几何不一致(¬q)，则欧氏几何不一致(¬p)。

因李子、李晓露《黎曼几何不一致定理》已证黎曼几何不一致，即┣(¬q)。则由数理逻辑分离规则可得：┣(¬p)。即欧氏几何不一致(¬p)。

以此类推可得：所有数学理论都不一致。

第四次数学危机是一场更大、更深刻、更严重的数学和科学危机。

请看后一篇文章《第四次数学危机及其导致的物理学危机》

 

参考文献　

　

[1] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985年。

[2] 第四次数学危机，李子、李晓露

[3]黎曼几何不一致定理，李子、李晓露

[4] 莫绍揆 徐永森 沈百英，数逻理辑，北京：高等教育出版社1984