圆柱与圆锥

（一 ）本单元的主要内容：

圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积，圆柱的体积和圆锥的体积。

（二）《大纲》与“目标”

全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）对本单元知识的要求“通过观察、操作，认识圆柱和圆锥，认识圆柱的展开图”“结合具体情境，探索并掌握圆柱的体积表面积以及圆锥体积的计算方法。”“探索某些实物体积的测量方法。”

   《教师教学用书》

教学目标：

1.认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征。认识圆柱的底面积、侧面积和高。认识圆锥的底面积和高。

2. 探索并掌握圆柱的侧面积，表面积的计算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。

3.通过观察、设计和制作圆柱、圆锥的模型活动，了解平面图形与立体图形之间的关系，发展学生的空间观念。

（三）体会与交流

数学产生于生活与现实生活有着密切的联系，本单元的知识更是如此，除此之外，还加强了对图形特征，计算方法的探究，形成分析问题、解决问题的能力，进一步发展空间观念。

下面就《大纲》与“目标”中的几个词语与同仁进行交流

1.对“认识”的理解

“认识圆柱和圆锥，认识圆柱的展开图，”就是图形层面上知道什么是圆柱的底面、高、及其侧面展开图；圆锥的底面、高。这是为后面的计算以及将实际问题转化为数学问题（建模）做准备的。

2.对“掌握、会”的理解

★必会的知识

“掌握圆柱的体积表面积以及圆锥体积的计算方法。”

首先概念要清，例如概念辨析题：

（1）一只铁皮水桶能装水多少升是求水桶的（   容积   ）。

（2）做一只圆柱形的油桶，至少用多少铁皮，是求油桶的（   表面积 ）

（3）做一节铁皮水管，要多少铁皮是求水管的（    侧面积 ）

（4）给个圆柱形的花瓶包装在盒子里，需用多大的盒子是求花瓶的（体积   ）。

（5）空心圆柱的表面积。（外面大圆柱的侧面积+中空小圆柱的侧面积+2×底面圆环面积）

（6）做一个无盖的圆柱形水桶，至少用多少铁皮实质是求（一个侧面积与一个底面积的和），如果做一对呢，怎样求？如果给这个无盖的水桶里外刷上油漆，需要刷油漆的面积怎样求？

（7）侧面积的使用：在罐头盒的四周贴上商标，求贴商标的面积实质就是求侧面积。

（8）给一个圆柱形水池的四周与底面抹上水泥，求抹水泥的面积

（9）下图是一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及中间的一块长方形正好做成一个圆柱体。这个圆柱体的表面积和体积分别是多少？

 

 

学生知道题目已知什么、求什么。再有必要的公式要熟，基本图形以及它们的简单组合要熟

★知识的综合运用与拓展

（1）已知条件的呈现方式

※ 已知圆柱的底面半径和高求圆柱的表面积和体积;

※ 已知圆柱的底面直径和高求圆柱的表面积和体积 ;

※ 已知圆柱的底面周长和高求圆柱的表面积和体积.

※ 圆柱侧面展开图若为一个正方形，你可以得到那些结论，让学生开动脑筋说

（ c=h,        c:h=1:1,   h:d=π:1,    h:r=2π:1 ）

※ 如果给出圆柱的高与底面直径的比是π:1,再添上一个什么条件就可以求这个圆柱的表面积（体积）？

（给出r，或d，或c还可以给出h或已知底面周长和高的和等都可以求圆柱的表面积或体积）

（2）图形的组合

圆柱、圆锥组合图形的体积可利用分数应用题或比的知识去解决,化难为易,利用转化方法帮助学生解决综合性习题

例如：一个机器零件，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱和圆锥的高都是9㎝，底面直径是10㎝，求这个零件的体积。

☆先求 圆柱的体积，再求 圆锥的体积，最后求和。

☆把组合图形转化成用分数应用题解答。

☆利用比的知识解答。

☆把圆锥转化成等体积的圆柱，再求大圆柱的体积……

本册教材中只涉及了圆柱与圆锥在等底、等高的情况下与之间的关系；还应该把其它的几种情况帮助学生进行梳理，形成知识网络，便于学生接受和掌握。

因此在这一节课里把圆柱与圆锥在等底、等高的情况下 与 之间的关系；

在等体积、等高的情况下 与 之间的关系；在等底、等体积的情况下与之间的关系；都一一呈现出来。如果没有这些知识做铺垫，这节课中的有些题学生肯定做不了，但有了这些效果就不一样了，学生对照板书在运用这些知识解题时非常熟练，感觉很轻松。

（3）拓展

※用一张长25.12㎝，宽18.84㎝的长方形铁皮围成一个圆柱的侧面，再配上多少平方厘米的铁皮就可以做成一个尽量高的圆柱？若想它的容积最大应怎样设计？（c＞h）

※一个圆柱形模型，侧面积是188.4平方厘米，底面半径是6厘米，那么这个模型的体积是多少？

方法1：先由侧面积与底面积半径求出高，再用底面积乘以高得到体积。

方法2：把这个模型转化成长方体。

方法3：直接利用公式与等式的性质变形，得出结论。

※把圆柱沿底面直径劈成两个半圆柱，表面积增加的面积是底面直径与高的乘积；把圆柱沿与底面平行方向截成两段，表面积增加的面积是两个底面积；截三段、四段呢？引导学生归纳得出：把一个圆柱截成n段后，其表面积增加了2（n-1）个底面的面积。

若一个圆柱高减少3㎝，其表面积怎样？（减少的是哪部分面积）

若接上一个等底的圆柱，其表面积会怎样？

※把不规则物体的体积转化为用学生已掌握的物体的体积知识去解答，为培养学生自主学习能力奠定基础。

※把一个圆柱削成一个最大的圆锥，怎样做削成的圆锥的体积最大？削去部分的体积怎样求？如果给出削成的圆锥的体积怎样求圆柱的体积？如果给出削去部分的体积能求圆柱的体积吗？

※把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，怎样做才是最大的？如果给出削成的圆柱的体积，怎样求正方体木块的体积？

※把一个正方体木块削成一个最大的圆锥怎样做?

※在一个长、宽、高分别为8厘米、6厘米、4厘米的长方体内截一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方厘米？   要想在长方体内截一个最大的圆柱必须是8㎝×6㎝的这个面作底面，即r=3㎝，h=4㎝时体积最大。体积为：3.14×3²×4=113.04（立方厘米）

 

※直柱体的体积的计算方法:V=Sh。直柱体有长方体、正方体、圆柱体、钢管等

※一个圆柱的表面积是251.2平方厘米，底面半径与高的和是10厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？这道题可利用圆柱表面积的计算公式S=c(r+h)，求出周长后，再解答。

※把一个高6分米的圆柱底面分成许多个相等的小扇形，然后把这个圆柱沿着小扇形切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加了48平方分米，求圆柱的体积？

这道题首先需让学生清楚增加面的面积是两个长方形的面积，它是底面半径与高的乘积的2倍。

用“48÷2”得到一个面的面积，再除以高得到半径，进而求出圆柱的体积。

※一个圆柱如果沿着横截面锯成两段，表面积增加6.28平方分米，如果沿着底面直径锯成相等的两块，表面积增加8平方分米，圆柱的体积是多少立方分米？

使学生明确表面积增加6.28平方分米是两个与底面积大小相等的圆的面积。表面积增加8平方分米是两个长方形的面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。

3.对“了解”的理解

“了解平面图形与立体图形之间的关系”，这句话一方面在此通过实验、探究等发展学生空间观念，另一方面做了与七年级数学多彩图形一章的知识衔接。

例如：1.将下图中左边的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到右图中的(    )

 

圆柱与圆锥这一单元，计算不准确是普遍存在的问题，在教学中应注意计算方法与技巧的练习。在平时的教学中特别注重计算技巧的培养，在学习了圆的周长后要求学生背熟π~10π，为这学期的圆柱与圆锥的计算打下了基础，提高了计算速度，正确率也明显提高了。在计算中引导学生注意发现规律，减少运算步骤。 

例如：3.14×16÷2可以先计算16÷2，再求8π，口算就可以了。

如：3.14×12÷（3.14×0.3）可以直接把除号转化成分数线，采用约分的方法口算即可完成。

如：8²×3.14×2=64×3.14×2=128×3.14=314＋62.8＋25.12=400.92

这些只是我对这一单元的粗浅的认识，有不妥之处请提出宝贵意见。