《数系的扩充与复数的引入》教学思路

数系的扩充，一方面，是因为生产和科学发展的需要而使数逐步扩充的过程。早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；为了满足记数需要和表示具有相反意义的量，人们引入了负数，将数系扩充到整数集；为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数，将数系扩充到有理数集；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数，将数系扩充到实数集。

另一方面，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾。自然数集中，“+”满足其封闭性，为了让“—”满足其封闭性，将自然数扩充为整数；为了让“÷”满足封闭性，将整数扩充为有理数，为了将极限运算满足封闭性，将有理数扩充为实数。

数系从自然数集→整数集→有理数集→实数集，也就是说，现在我们认识到最大的数集是实数集，那么，实数够用吗？对于方程x²=-1，在实数范围内是否有解？用实例说明，现有的实数解决不了负数开平方的问题。由此说明，数不够用了，需要再次扩充，通过此种方式使学生了解引入虚数的必要性。

接下来引入虚数单位，进而讨论实数与虚数的关系，即构造新数——复数，讲解复数的概念和分类，如此，成功的将数集扩充到复数集，实数集、虚数集都是复数集的真子集。

  数系扩充的过程可类比必修1指数函数中指数的扩充过程，指数可以扩充为任意的整数、分数、有理数和无理数，所以，此种方式学生已经有了一定的心理基础。

紧接着说明复数a+bi可以看成是关于i的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，得到两个复数相等的充要条件，为之后求复数值、在复数集中解方程打下基础。

然后引入复平面的概念，复平面的建立，一方面将数与形的一一对应从一维空间扩展到二维空间；另一方面，使复数与向量及解析几何之间建立沟通的桥梁 ，即依赖于平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础。

最后讲解复数的模（绝对值），可类比向量的模进行说明。此处，要特别说明，在复数以前，学习数的时候，都涉及比较数的大小问题，而两个复数一般是不能比较大小的，但可以比较它们模的大小。

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