加载中…【转载】高中最全的三次函数性质与题型总结
(2016-01-13 10:32:35)
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三次函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggITPEQFsf0VOBT4g8pjE0we35sphhCle9zwRrPA9WYjoVdRqRQc4c24g/0 （ http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI0YthjmpF11ZrGo5m8icxP79sHnHianpQFA8uqNtzibfFJKKHXSko9ELBw/0 ）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．
性质一 单调性
以 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsqNBFaBicelUpyHV1vrDcmvYt11R6sApxTgMyPWXITNszypeO9zr71MIs1pWMwZUoicAXEX3ia8eK7Q/0 为例，如图1，记 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggImyuiatE95f571zcicBhFicnqMPQ6BVZU3SMJBwqLnT2amGj8hEO8icxfCg/0 为三次函数图象的判别式，则
图1 用判别式判断函数图象
当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIyRU3Mic32Ipx7h343DAObGlgdP3q9ZuYPPLyMf3qsOticPyZ2QAEfTng/0 时， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSpHWIpOj6ZLIgv2TUb5LEaVibUDOPIeqmA3GOUgF6wO93ARQeiagel6uQ/0 上的单调递增函数；
当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIFEuqOe4CWgicvCUCvficrZ2vtKTLYxMRCjQwGy0M6YlSxafmaY0GTlYg/0 时， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．
其判别式为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI7jsUoWtgkOA7iaSQk3FYicJLQw2wnTdaFUBJc402FycajG51EvicD97Kg/0 ，进而易得结论．
例1 设直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 与曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI5uDNefdJXj7ompZYZ0vFwIged67A7ru4iclbETxichM6RoTn14JAmBng/0 有三个不同的交点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIVz564eAnKTjsribbYxYVTfUEhWet2wbMhWHsBG7mjCuLziaLStzGib3GQ/0 ，且 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIMM7CibZD9vla0BvrrXnTA92mVYmpPJVK2FhyquoGqZeaQVkMZC7TC1Q/0 ，求直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 的方程．
解 由 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIicakXG4mWEveDWutvaQUs1NNqibBVWh1sgY0NdDtCefz7ab94Gy2DgYA/0 可知 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfvcm4tSEAppP9gARddVEduOFevN0lzu1AYLLtiajOSOU188zSS176KX9SuMQatmvga5u6zpgCBem7g/0 为三次函数的对称中心，由性质一可得 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIvfu4W5ED9bBvxG3Wd4XrA9ic6FJIhNLzLJnoO8mE25gztZYHThDc0NA/0 ，进而不难求得直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 的方程 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIVbwLrNJffOaiarB6Zw5dqM7nwcNJyIFbRCRm1O5FJw4VBXXB5AU1icMw/0 ．
性质二 对称性
如图2， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 的图象关于点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI5e45SOxzdYI7mMbDLVUbKBYgmQFBeWwp19yjKTgPQg0jSwz4Nyv96A/0 对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 对称）．
图2 图象的对称性
反之，若三次函数的对称中心为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIzV3PUylaiaeAcjz3IUQV1npkd8VxA2eibGFNkNOayGJxEuO27txOTtVg/0 ，则其解析式可以设为
性质二的证明 由于
即
于是性质二得证．
例2 设函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIvdL8YEtgH6vCLnTXX7IGy54UKZ5iaFkurY6mbOtiam3BTKkKHLvOI81w/0 ， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIkRsj1a6dTuiaRgQZuQtmnvv35iaXC4iciaicegKaDiaQq0HE9IwfTJxuuicmg/0 ．
（1）求导数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYIvqIxFr0oGRjIVRj2k3Q42BaUtOpSzxYghNXjY26FJJDC3lK4CqVw/0 ，并证明 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 有两个不同的极值点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIHu8BSeAdgaAkRFQaXjMYNlnvo75KUrU42ibmplgnF3w2PaOsQFxjX6A/0 ， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIhvG4gYryxiblVPEM7R4iaIrScGvibMGianVhnEMI68WN1xicyeWiaNh4CCsQ/0 ；
（2）若不等式 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIoDczvyC3rx5uYcJM49ZfW4TicRDIaHCjibjPZ2bqjAHDC9dCCSWsicJiaQ/0 成立，求 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSlex5Ua1KDCXR8g5zOW8EmzsZlwkIPFXgJJuTpCthg4GKcCbRSwA6ow/0 的取值范围．
而
于是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfs7MSBicQwpZ79Xiand754noNn9nIpibGrUfQbHfq6pkTDb6Qia2UwguaZiax5jQ1rnwOtESDReQibdg2Gw/0 有两个变号零点，从而 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 有两个不同的极值点．
（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIUHc1QNhyrC6TEsFzub9u983Hcg0icBjSpHrUTP0UNGXdWZ6BQ64gQUw/0 是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是
即
结合 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfvZ45ahYUKZNsZJPpo6ibXcADerQwo2aUMfLhkIHTe2EPYj5HDAv4QQp4Jeo3BAfsqZ6Ta8HTSictjw/0 ，可得 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSlex5Ua1KDCXR8g5zOW8EmzsZlwkIPFXgJJuTpCthg4GKcCbRSwA6ow/0 的取值范围是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIcjwAicdKTpoBic2RL8lG6TDQzZn0UzhNbCrt3x5icyqNpVGGQXh4Biazsw/0 ．
注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsibomp9lLwFUcKD9YTiaDIoF0lcSPoIKuHdJ2U7bibhknWrFzkmxhDm68ITuYHYjicjohNhIlhOnrjVA/0 题．
性质三 切割线性质
如图3，设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 上任意一点（非对称中心），过 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 作函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 图象的一条割线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibVcrMoWa0zhVEF07ib9LZsvKO3F0RY2MsrYkxFLOQXdgsx20ibZKtpicAA/0 与一条切线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI9vfmmSOA2O15EP0H2JDbPube2WNm0nkh31BLvfT4m1T5WGgmW3tF9w/0 （ http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 点不为切点）， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibsW2HqshxH9UwV3xO8gNLZUMrnzC6p4QKYOc3CTxGCQoSYeic40f0R5Q/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfvcm4tSEAppP9gARddVEduOFevN0lzu1AYLLtiajOSOU188zSS176KX9SuMQatmvga5u6zpgCBem7g/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsibomp9lLwFUcKD9YTiaDIoF8F3O8PErCDpl7UqxhB1rOazbpFZNmPAjs5HIiciaepjaplhicPk0uAhUA/0 均在 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 的图象上，则 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsibomp9lLwFUcKD9YTiaDIoF8F3O8PErCDpl7UqxhB1rOazbpFZNmPAjs5HIiciaepjaplhicPk0uAhUA/0 点的横坐标平分 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibsW2HqshxH9UwV3xO8gNLZUMrnzC6p4QKYOc3CTxGCQoSYeic40f0R5Q/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfvcm4tSEAppP9gARddVEduOFevN0lzu1AYLLtiajOSOU188zSS176KX9SuMQatmvga5u6zpgCBem7g/0 点的横坐标．
图3 切割线性质
推论1 设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 上任意一点（非对称中心），过 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 作函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 图象的两条切线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuZibuRibxICWSBQLEXeYx1KL9Cg4RRUJgoDnW8JeZBl0EQjntImax1ZdeLM8NeSf17JicLiboG5SjvqQ/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIQDbc3KEI9iaksDtaVqNmetmkY2XTaWvN2d9FZD6h5vaomKSgR2a87ng/0 ，切点分别为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuZibuRibxICWSBQLEXeYx1KLNOJibicPQ181xITlQxAfgKOUdc1YqmDwMrrWT0lZsHy2XJdGEmmiawJkQ/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 ，如图．则 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuZibuRibxICWSBQLEXeYx1KLNOJibicPQ181xITlQxAfgKOUdc1YqmDwMrrWT0lZsHy2XJdGEmmiawJkQ/0 点的横坐标平分 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibbeQJB4aIibKhP0icUcibQX3afAkzWXobcU5T496icaCW4sDmmS5ndTaQ0A/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfvDAwQmiciaKJXIiaGjyu9icPK1Aj7oJTG6k9T4ruVFzOhhHg3IDSahorBvQ0cbFUFA3TictC8FzPJmEeQ/0 点的横坐标，如图4．
图4 切割线性质推论一
推论2 设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 的极大值为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuZibuRibxICWSBQLEXeYx1KLNOJibicPQ181xITlQxAfgKOUdc1YqmDwMrrWT0lZsHy2XJdGEmmiawJkQ/0 ，方程 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI4aP1RunVjJcRHaibHibaRPlUwCq7NaXCVqzJbiaibt6NSEJjxXgiakBdiaCQ/0 的两根为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIHu8BSeAdgaAkRFQaXjMYNlnvo75KUrU42ibmplgnF3w2PaOsQFxjX6A/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIhvG4gYryxiblVPEM7R4iaIrScGvibMGianVhnEMI68WN1xicyeWiaNh4CCsQ/0 （ http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIyESWbUCOV2IWQK15GMwyppN874cO4y94Ym6KMDCuSo3pJelia8GQMSQ/0 ），则区间 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIibZPqVD2icRE3EXBziaOyIHLvoIOLYmBblz3qvkxpGkzcl8bIdQMnWahw/0 被 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIWaPckRmugBwQqVL87dB4ibGvoxQBNcjAlOwXfclBNiaam0hic3xeQPy1g/0 和极小值点三等分．
图5 切割线性质推论二
性质三的证明 设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI0vyIibdXiajHHxO290SxJb8FjLugExOa2K3Jm7kSuuQDpKoZnqHFDlqg/0 （ http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzftXtDh7qaTUcKvpIO00Elalv9q04j3yNmYpuevCAPE6V4sZndnMZrkHiaczu37zicIVTcbhN5xzxy6A/0 ），直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIno3rSJgPsSZicYGEZDHu9Ulr3fAibpv7X4a3J2x9Sb1WtCfVcNwsKVicQ/0 ，直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIoXqrqzHUAgCUGrdL8Qy6BRZkdGlicy0Fu4icS6bCqSZdhtia3GwibsFrnQ/0 ，则分别将直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI9vfmmSOA2O15EP0H2JDbPube2WNm0nkh31BLvfT4m1T5WGgmW3tF9w/0 与直线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggITJ3s07pQI0Lf4HUgXyKs5qK77Ro9GxN2cLZz3LMKsp4aAD3C83rZXw/0 的方程与三次函数的解析式联立，得
于是根据三次方程的韦达定理可得
即
于是命题得证．
推论1和推论2的证明留给读者．
例3 如图6，记三次函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI0vyIibdXiajHHxO290SxJb8FjLugExOa2K3Jm7kSuuQDpKoZnqHFDlqg/0 （ http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3E6E573bpdh3pqelN5TcicXt1qYQ72zd1wkPiaswzE21a99GFUHWaLjxQ/0 ）的图象为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 ，若对于任意非零实数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu8mITt7zODH9r2LBdzXkQDctlAQ1pyFDoSJEYibaJV4txPPhHLJLzibT33NhThOZRfjSicRqsSsya9w/0 ，曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 与其在点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIq121q9WIj6U2r0EfDu9LlDTaypjvbo5wrug0Xry9hqYZy8b2eVXUKg/0 处的切线交于另一点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIN5LhCdXDrQN6N2QXib2olYtk1iabPNElEy9gYcAiabajIibqfebNUbyNhg/0 ，曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 与其在点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIF9iaqPlW5KwqJ4iaABt6tFcbhHL219T7A0XV7sv8wH2k6goIwEfQ2ncA/0 处的切线交于另一点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIpJYx56hrYxics2MULfpWicbdyFOzDQj6rw4iaS79KNXFX3YaDQmgYfffg/0 ，线段 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggISen53iczW4ywYnUyr7GclRCl47b2H0QHKjXUzlAgwCXFGSMggCZfHSQ/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI3Jj0zEwFF5Iibb3dTAeoaYethHWxrtxPTtsWJLmbmIicqg4V0vsIrYcg/0 与曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 所围成的封闭图形的面积分别记为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIgIBcGic7nvGayZKFxutAicqjdwkoCeTEtPk6DRblEc0UHdyhnjzCXATw/0 、 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggISVG0n7xydyv06D59MdhflMsUuyvpqOdniaSO61ejdLs2eVgXmGQ8fWg/0 ．求证： http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggID2iaY3HagdNgdpWjptliaicknicD7OE0paCsW0ppIjOGC2ESv538Ufb1tg/0 是定值．
图6
解 由性质二，任意三次函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 都可以通过平移变化变成
然后可以作伸缩变换变成
而无论平移还是伸缩，题中的 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggID2iaY3HagdNgdpWjptliaicknicD7OE0paCsW0ppIjOGC2ESv538Ufb1tg/0 均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIVanwZEnHt2ETdrXnY7fbPs9gDmzzHoJxlibjNO6HottfsIBSvDia1uww/0 成立即可．
根据题意，联立函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIVanwZEnHt2ETdrXnY7fbPs9gDmzzHoJxlibjNO6HottfsIBSvDia1uww/0 与函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsuqpLWQTBaSQXuq6qfrwNZWMw0Qv8USSFIKM459KCl8AjmzR39LkQhpG4EqdrSeIftm4WbB5S0JA/0 在 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIpmh4rALY9y6aark5rrypJshe2E3icp53ZzfQwAF3gicE9etUmRDlA4fQ/0 处的切线方程得
于是
即
又由性质三的推论1，可得
即
于是，线段 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggISen53iczW4ywYnUyr7GclRCl47b2H0QHKjXUzlAgwCXFGSMggCZfHSQ/0 与曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 所围成的封闭图形的面积
类似的，线段 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI3Jj0zEwFF5Iibb3dTAeoaYethHWxrtxPTtsWJLmbmIicqg4V0vsIrYcg/0 与曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsJhGpMF30kJKI7WAiahyGJibeDbz7JO9HdqGr2FhTiaVTaMtddTS0KfQ4m8HZyfBISGib67mfcbMrgSA/0 所围成图形的面积
于是所求的面积之比为
注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIZWUtgVMY5dEgPuvVttJkDjRWVOM9z2HHZte8F7I0MFjYBvBmx087Nw/0 成立）．
性质四 切线条数
如图7，过 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 的对称中心作切线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 ，则坐标平面被切线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 和函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 的图象分割为四个区域，有以下结论：
图7 切线条数
① 过区域 I、III 内的点作 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 的切线，有且仅有三条；
② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 的切线，有且仅有一条；
③ 过切线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfu6CXO8TMUKIGEcyqnicfdI9GB8N347FPBp2uUn2c1icuq367BiaYhkoO5doGGxQCcfWYHPLvFGRg2ibA/0 或函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHACPbYEQSgtH6QgibIJauVktMt8MKNH98VXPtYLxH7tm7d6vTFQfQdsAg/0 图象（除去对称中心）上的点作 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 的切线，有且仅有两条．
性质四的证明 由性质二，不妨设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIbj8TPRB1XVcx6WBvvhPfn9QK3ynmuico3kM2TAHe2ciato3AkJn9ZqicA/0 ，坐标平面内一点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIyBEQ4JVCpHLnicH7jURfd2ia3kkzFfk33IO7kGCkma8I4pdkwACC288Q/0 ．
三次函数图象上 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIOp1ribfXJTXo9iaJYJxTQicjGTBH7icWfc9D0A7eeUGmVhrRP90IwicTwFg/0 处的切线方程为
即
而三次函数对称中心处的切线方程为
的图象公共点个数．
当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzftkiawqvnp32gEnsRKITfUpxvtPVqNMLfsR1zStfWtaf3ib3jJJ0dgaHAVYjLnnLYqab3HaNG4FlS5A/0 时，无论 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfufjXj1lG5M8icybG53zmiafrYy0cVA3BY1t1nnDFLtPiaWibicbLh5r0efL2icCXekEKDWW8rq7kBHVAjA/0 取何值，均为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSdeBiaC6ar3EhEkckibJoRr3nNY0viasZpwE2ibwkSotg7Ys0tSXkBxf1Mw/0 个公共点；
当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsqNBFaBicelUpyHV1vrDcmvYt11R6sApxTgMyPWXITNszypeO9zr71MIs1pWMwZUoicAXEX3ia8eK7Q/0 时， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIXkqdzqc4BXPguFVJwPC2coAmBadpPk3CzZC1D3bMX0WCIud94GaHWg/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSdeBiaC6ar3EhEkckibJoRr3nNY0viasZpwE2ibwkSotg7Ys0tSXkBxf1Mw/0 个公共点， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIGomFSodJzdahZ0zLlsWmpbwSdiapTEZbuoS1aG82zKNyAsgo0Y0icrSQ/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCS4ZFglbwCicI3BD6y5bxEGEc57nf5mYLSMAWTatZSe2EiclbRF4mBsoRQ/0 个公共点， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIziagt5AbJR73MpGgL9B0w5PibiamdgribcUwPwibgjN9SCq8iciaH1Q0Xpc8g/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSVDjMKgrQ3sMPSQIwRwvTa3eXxsOMOiaALmGa6iaaiavYCQlCicbd0AqAFQ/0 个公共点；
当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzftNmdAdex7QbHicVLQq7EuINXmoqRNg4fTBNvGUGeC2SgHdHs9HhXOAMl8NSA64Cic5QlcPg0VPY57w/0 时， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIXkqdzqc4BXPguFVJwPC2coAmBadpPk3CzZC1D3bMX0WCIud94GaHWg/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSVDjMKgrQ3sMPSQIwRwvTa3eXxsOMOiaALmGa6iaaiavYCQlCicbd0AqAFQ/0 个公共点， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIGomFSodJzdahZ0zLlsWmpbwSdiapTEZbuoS1aG82zKNyAsgo0Y0icrSQ/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCS4ZFglbwCicI3BD6y5bxEGEc57nf5mYLSMAWTatZSe2EiclbRF4mBsoRQ/0 个公共点， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIziagt5AbJR73MpGgL9B0w5PibiamdgribcUwPwibgjN9SCq8iciaH1Q0Xpc8g/0 时为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSdeBiaC6ar3EhEkckibJoRr3nNY0viasZpwE2ibwkSotg7Ys0tSXkBxf1Mw/0 个公共点．
综上，性质四得证．
在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：
（1）求曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 在点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIrtFsaLYJtzFLUTvnfpH5ic7oicpfCiaWat0YpHuUHpTO7JNLficVwcoib9g/0 处的切线方程；
（2）设 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHAiafV2SW4qSlFka2ia8wk5FZxnFdiaibKAFnfXYvIglsicf2niaGicwtpcD1Gw/0 ，如果过点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsRHyupcvtNbmDCgeXu0F8Hv75hXGJJu1LJ4m8SFaibYTqlYH8G76VswmIPicSSKtTXbUwdFkMRm0iaA/0 可作曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 的三条切线，证明： http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIFGAJdh4IXHXYQcRoaTZDQwWzfMRIGYdVPfxC97Ks6BujDssO4nQZtg/0 ．
例4 设函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIRj7IcvyCeXlfpW5sHCrncxd004mibTV5c8l5rS9xs7OqCYbxGOZINKg/0 ，其中 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuicxu19ClAqLq0pibwb8PEHAiafV2SW4qSlFka2ia8wk5FZxnFdiaibKAFnfXYvIglsicf2niaGicwtpcD1Gw/0 ．曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 在点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIlkLRPZelash7L1Xh7bE80ibHojyxRLOynOPFs7ZZCbb0Hia13XpEMDNA/0 处的切线方程为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIyyZTvBNGRTr1sTxmxv6Ma5GjEvynAe6UhBwUgkYGuic0iaHdMS0QmdSA/0 ．
（2）设曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 在点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIQazc8HBPdEordibnVKaSICNUv0oxqHEgY9969oNppibHHChJ3hLexkdg/0 及 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggI0yX7EMD7qv6XstBnWnU9LSp0pl2xT6xoZKLoA3bxdn0YKt2AxvEiaSA/0 处的切线都过点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIq68r6qGib2pSP0SbX8X2sQJedXfgQw0foiaDtibibwgDstiaXcUXoJmnDww/0 ．证明：当 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIkAYCU5yiaicIRDC2xO9GEicJGhfVl0qNuY3erYDjC69UUEJ2XOAnvzjYw/0 时， http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIgZJcMhiaPTnPRuaiaF7VDTcUb30h7dbs9hGMmL5rNwMPTh33UvXkLiatQ/0 ；
（3）若过点 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIq68r6qGib2pSP0SbX8X2sQJedXfgQw0foiaDtibibwgDstiaXcUXoJmnDww/0 可作曲线 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIYK6Vw3t5DN5hy15q2KDgg37FUx87XFE6FFsVt37DeQiagSv9FhhvgyQ/0 的三条不同切线，求 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSlex5Ua1KDCXR8g5zOW8EmzsZlwkIPFXgJJuTpCthg4GKcCbRSwA6ow/0 的取值范围．
于是该函数在 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzftNnWUTNLiamqUROdQ2b66eTf1hw3MyKo8VwicAaPLFCbjAzvPxUcLhcibibWJncTw295VZIjPzT0e7UA/0 处的切线方程为
因此
（2）函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 在 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIOp1ribfXJTXo9iaJYJxTQicjGTBH7icWfc9D0A7eeUGmVhrRP90IwicTwFg/0 处的切线方程为
于是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsqNBFaBicelUpyHV1vrDcmvbaDvYs7HZBAvtIYrshAiaVmp7OoT2pia3dvTNowQXl4JqmQ1UroOFrBg/0 是该方程的两个不等实根．
考虑
而
而
于是
进而可得
（3）函数 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfsX0QDaYzDVqbejibE7zoQI3HeFDse3rmSHeurHPcib352weMxg6I1OcBI2cFtZkia5P6x9LElzoFH2A/0 的对称中心为 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggIL8efFHFnMibgCZ6cMeBD8LtO3FYO8a9EHLapbRJJ886GjiacCbYibIBzA/0 ，于是在对称中心处的切线方程为
根据性质四的结论 ①，可得
解得
即 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfuoRNtXEIMutDBWVBTPqlCSlex5Ua1KDCXR8g5zOW8EmzsZlwkIPFXgJJuTpCthg4GKcCbRSwA6ow/0 的取值范围是 http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/9pfej2uvzfv5wWDHfYF7BDJAl9aSwggISffEVqwzTrIb3ukKjaRefyeeibbicbwWpdqeC75CFdx49Rib0iaVs3UM5Q/0 ．
注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．
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