小学数学思想方法

第二讲　　从整体上看问题

　　解决数学问题是一个灵活的思维过程，有时需要从局部的、简单的情况入手，以发现整体的规律，而有时则需要从整体入手，以避免受到局部细节的干扰。

例1　下图的长方形，长20厘米，宽10厘米，求阴影部分的面积。

解：三角形的面积等于底与高乘积的一半，而3个阴影三角形的高都等于长方形的宽，底的和等于长方形的长，所以阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即20×10÷2＝100(平方厘米)。

例2　下面是一个乘法算式，要求求出在每个□内填一个数字，使算式成立。

 解：从整体上看

(1)积的千位数只能是百位的进位数1，所以积≥1800；

(2)两个两位数相乘，从18×99＝1782＜1800可知被乘数是19；

　　(3)因为19×90＝1710＜1800，所以乘数大于90；

　　(4)从被乘数与乘数个位数的积□5□着眼，试算发现19×8＝152，得知乘数的个位数是8，乘数就是98；

(5)被乘数与乘数十位数的积是19×9＝171；

(6)算式的乘积是19×98＝1862。

　　例3　用0、1、2、3、4五个数字组成四位数，要求每个四位数中的数字都不相同。所有这些四位数的和是多少？

解：(1)如果取1为千位数字，那么，百位数字可以从0、2、3、4中选择，有4种可能；百位数字确定后，十位数字就只有3种选择；十位数字确定后，个位数字就只有2种选择，共有4×3×2＝24种选择，即千位数字是1的四位有24个。同理，千位数字是2、3、4的也各有24个；

　　(2)如果取1为百位数字，那么，千位数字不能是0，只能从2、3、4中选择，有3种可能；千位数字确定后，十位数字可以是0，也有3种选择；十位数字确定后，个位数字有2种选择，共有3×3×2＝18种选择，即百位数字是1的四位数有18个。同理，百位数字是2、3、4的也各有18个；

　　(3)与(2)同理，十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个。

　　因此，所求的总和是1000×(1＋2＋3＋4)×24＋100×(1＋2＋3＋4)×18＋10×(1＋2＋3＋4)×18＋(1＋2＋3＋4)×18＝(1＋2＋3＋4)×(1000×24＋100×18＋10×18＋18)＝10×(24000＋1800＋180＋18)＝10×25998＝259980

例4　计算：

1－2/[1×(1＋2)]－3/[(1＋2)×(1＋2＋3)]－4/(1＋2＋3)×(1＋2＋3＋4)]－…－10/[(1＋2＋3＋…＋9)×(1＋2＋3＋…＋10)]。

解：原式＝1－2/(1×3)－3/(3×6)－4/(6×10)－…－10/(45×55)

对整个算式仔细观察发现，所有分数的分子都等于分母中两个因数的差。根据(b－a)/ab＝1/a－1/b，

　　原式＝1－(1－1/3)－(1/3－1/6)－(1/6－1/10)－…－(1/45－1/55)

　　　　＝1－1＋1/3－1/3＋1/6－1/6＋1/10－…－1/45＋1/55

　　　　＝1/55。

例5　分母为1996的所有最简真分数的和是多少？

解：因为1996＝2×2×499，所以分母为1996的最简真分数，分子不能是偶数，也不能是499的1倍499和3倍3×499＝1479。因此，所求的和是1/1996＋3/1996＋5/1996＋…＋1991/1996＋1993/1996＋1995/1996中去掉499/1996和1479/1996所得的差。

　　观察发现，算式两端两个分数的和等于1；第2个分数与倒数第2个分数的和也等于1；第3个分数与倒数第3个分数的也和等于1。于是想到，从1到1996，共有1996÷2＝998个奇数，减去前面提到的2个奇数499和1497后，还剩996个奇数，逐次把首尾两个分数相加，可以得到996÷2＝498个1，所以算式的得数就是498，即，分母为1996的所有最简真分数的和是498。

例6　一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处分别截去棱长是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

解：从大正方体任何一个顶点处截去一个小正方体，剩下部分的表面积都不会发生变化。只有当截去的两个小正方体有重合面时，表面积才会减少。所以，要使剩下部分的表面积最少，截去的两个小正方体的重合面就要最大。为此可以在同一条棱的两端截去棱长分别是7、8的两个小正方体。原来正方体的表面积是152×6＝1350。棱长分别为7、8的两个正方体重合面的面积是72×2＝98，所以，剩下部分的表面积最少是1350－98＝1252。

例7　用大小相等的无色玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD—A1B1C1D1。大正方体的对角线AC1、BD1、CA1、DB1所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色玻璃小正方体。已知红色玻璃小正方体共用了401个，无色玻璃小正方体用了多少个？

解：因为4条对角线，都穿过位于正方体中心的那个小正方体，除此之外，任何两条对角线都没有穿过相同的小正方体。已知4条对角线共穿过401个红色玻璃小正方体，而正方体中心的那个小正方体被4条对角线所共用，即以1当4，要算出每条对角线穿过多少个红色玻璃小正方体，就要给实际所用的红色玻璃小正方体的个数加上3，所以每条对角线穿过(401＋3)÷4＝101个小正方体。这说明大正方体的棱是由101个小正方体组成的，所以总共用了无色玻璃小正方体1013－401＝1029900(个)。

例8　一个游戏中，“魔术师”请一个人随意想一个三位数abc。(这里abc不表示乘积，后面凡是用字母组数时也同样。)再由这个人求出5个数acb、bac、bca、cab和cba的和A，并把和A告诉魔术师，魔术师就可以说出这个人所想的数abc。如果A＝1999，那么abc是多少？

解：因为在6个三位数中，a、b、c在每个数位上都出现2次，所以这6个数的和是200×(a＋b＋c)＋20×(a＋b＋c)＋2×(a＋b＋c)＝222×(a＋b＋c)，即abc＋1999＝222×(a＋b＋c)。

abc是三位数，说明100＜abc＜999。因为abc＋1999＝222×(a＋b＋c)，而100＋1999＝2099，999＋1999＝2998，所以2099＜222×(a＋b＋c)＜2998。2099÷222＝9……101，2998÷222＝13……112，于是9＜(a＋b＋c)＜14。因此a＋b＋c只能取10、11、12、13。

因为abc＋1999＝222×(a＋b＋c)，所以abc＝222×(a＋b＋c)－1999。

(1)当a＋b＋c＝10时，abc＝222×10－1999＝221，2＋2＋1≠10，不合题意；

(2)当a＋b＋c＝11时，abc＝222×11－1999＝443，4＋4＋3＝11，符合题意；

(3)当a＋b＋c＝12时，abc＝222×12－1999＝665，6＋6＋5≠12，不合题意；

(4)当a＋b＋c＝13时，abc＝222×13－1999＝887，8＋8＋7≠13，不合题意。

所以，abc是443。

　　练习：

1、下面算式的乘积是多少？

2、计算：2004×200520052005－2005×200420042004。

3、计算：1/2005＋2/2005＋3/2005＋…＋2005/2005。

4、计算：3/2＋13/6＋37/12＋81/20＋…＋8401/420。

5、黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1、3、5、7、9、11、13、……擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是1998，擦去的奇数是多少？

6、有大、中、小三个正方形水池，边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面将升高多少厘米？

7、一个圆形水池，小明和小红分别从直径AB两端同时出发，沿池边步行，小明顺时针而行，小红逆时针而行，在距A点157/15米处两人第一次相遇，相遇后继续行走，正好在B点第二次相遇。水池的周长是多少米？

8、两个同样大的圆部分重叠(如图)。图中正方形的周长是20厘米，图形的面积是多少平方厘米？

9、一张等腰直角三角形纸，底长 10 厘米。把两个底角折进来后再对折(如图)，得到一个梯形，求这个梯形的面积。

10、在图中，已知矩形GHCD的面积是矩形ABCD面积的1/4，矩形MHCF的面积是矩形ABCD面积的1/6，矩形BCFE的面积等于3平方米。阴影部分矩形AEMG的面积是多少平方米？

答案:

　　1、12×89＝1068。　　2、0。　　　3、1003。    4、4430/21。

　　5、27。     6、35/8厘米。　　7、62.8米。

8、142.75平方厘米。　　　9、75/8平方厘米。    10、9/8平方米。