多年前，我选编了一份资料，内容涉及小学数学中常见的一些数学思想方法。这份资料比较适合小学高年级对数学有浓厚兴趣，并且学有余力的学生使用，也可供小学数学教师参考。下面就是这份材料，共11讲。为了不至于过份增加学生的负担，每次只给出一讲。有一点需要说明，受网文格式的限制，分数的写法只好变通一下。如，a分之b写作b/a；a、b之和分之c、d之差写作(c-d)/(a+b)，依此类推，并且，假分数不再化成带分数。由此而带来阅读上的一些不便，请网友谅解。

第一讲　　从简单情况找规律

　　当一个问题非常复杂时，首先就要想到，其中是否隐藏着某种规律，如果能找到这种规律，问题就会迎刃而解。探索规律，往往要利用已有的知识和经验，从简单的、熟悉的地方开始，从粗略的估计开始，同时注意极端的情况，如最大、最小等。

　　例1　2005个7连乘，积的个位数字是多少？

解：可以这样想

7，个位数字是7；

7×7＝49，积的个位数字是9；

7×7×7＝343，积的个位数字是3；

7×7×7×7＝2401，积的个位数字是1；

7×7×7×7×7＝16807，积的个位数字是7。

　　观察发现，随着因数的增加，积的个位数字按“7、9、3、1”四个数字循环。2005÷4余1，所以积的个位数字是7。

例2　按一定规律排列着一串数：

1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，……，1/100，2/100，3/100，……，99/100，100/100。这些数的总和是多少？

　　解：可以这样想，把这串数按分母从小到大分成100组，分别求和。

第1组：1/1＝1/1；

第2组：1/2＋2/2＝(1+2)/2；

第3组：1/3＋2/3＋3/3＝[(1+3)×3÷2]/3＝(1+3)/2；

第4组：1/4＋2/4＋3/4＋4/4＝[(1+4)×4÷2]/4＝(1+4)/2；

观察发现，如果再把第1组的和写作(1+1)/2，第n组的和就是(1+n)/2。这串数共有100项，总和是：

(1+1)/2＋(1+2)/2＋(1+3)/2＋(1+4)/2＋…＋(1+100)/2＝1/2×100＋(1+2+3+…+100)/2＝50＋[(1+100)×100÷2}/2＝50＋2525＝2575。

想一想：分母为n的所有真分数的和是多少？(答案：(n-1)/2)

例3　现有如下一系列图形：

　　当n＝1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边；

当n＝2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边；

　　当n＝3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边；

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　　按如上规律请回答：当n＝100时，长方形ABCD可以分为多少个直角三角形？总计能数出多少条边？

　　解：观察发现，长方形ABCD可以分为n2个小长方形，每个小长方形可以分成2个直角三角形，即直角三角形的个数＝2×n2。当n＝100时，总共有2×1002＝20000个直角三角形。

　　边可以分为“横边”、“竖边”和“斜边”三种。观察发现，横边数＝n(n＋1)；竖边数＝n(n＋1)；斜边数＝n2。即总边数＝2n(n＋1)＋n2＝3n2+2n＝n(3n＋2)。当n＝100时，总共有100×(300＋2)＝30200条边。

    例4　有两个同样大小的杯子，甲杯盛满了纯水，乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水。先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀，然后再用乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀，上述过程算是进行了一次操作。如果这样连续进行五次操作后，那么甲杯里含有多少克盐？

    解：可以用列表法

　　　　　　 甲杯含盐(克)　    　　    乙杯含盐(克)

      原来　　　　　0　　　　　　　　   　    10

      第一次操作后　5　　　　　　　　　       5

      第二次操作后  10－15/4＝25/4　　　      (5＋5×1/2)×1/2＝15/4

      第三次操作后  10－55/16＝105/16　       (15/4＋25/4×1/2)×1/2＝55/16

      第四次操作后  10－215/64＝425/64　      (55/16＋105/16×1/2)×1/2＝215/64

      第五次操作后  10－855/256＝1705/256     (215/64＋425/64×1/2)×1/2＝855/256

所以，第五次操作后甲杯里含盐1705/256克。

还可以这样想：每次操作后甲杯里的盐可以看作由两部分组成：一部分是甲杯里原来的盐，因为甲杯里原有的盐虽然倒给乙杯1/2，但是又从乙杯返还了1/2×1/2＝1/4，所以这部分盐等于甲杯原有盐的1/2＋1/2×1/2＝3/4；另一部分是由乙杯倒来的盐，这部分盐等于乙杯原有的盐的1/2。因为乙杯原有的盐＝盐的总量10克－甲杯原有含盐量，于是每次操作后甲杯里的含盐量＝甲杯原有含盐量×3/4＋(10克－甲杯原有含盐量)×1/2＝甲杯原有含盐量×(3/4－1/2)＋10克×1/2＝甲杯原有含盐量×1/4＋5克。所以

第一次操作后甲杯含盐0×1/4＋5＝5克；

第二次操作后甲杯含盐5×1/4＋5＝25/4克；

第三次操作后甲杯含盐25/4×1/4＋5＝105/16克；

第四次操作后甲杯含盐105/16×1/4＋5＝425/64克；

第五次操作后甲杯含盐425/64×1/4＋5＝1705/256克。

想一想：如果增加操作次数，会出现什么情况？(答案：两杯盐水的浓度趋于相同，甲杯含盐以10×2/3＝20/3克为极限。)

　　例5　1×1＋2×2＋…＋2004×2004＋2005×2005的个位数字是几？

解：可以这样想，每10个连续平方数的和，个位数字是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1的个位数字，是5，从而原式的个位数字与5×200＋1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5的个位数字相同，是5。

还可以这样想，根据自然数平方和公式S＝1/6×n(n＋1)(2n＋1)＝1/6×2005×2006×4011，约分后可判断得数的个位数是5。

例6　下图的数阵是由77个偶数排成的，

其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么它们当中位于平行四边形左上角的数是多少？

解：可以这样想，移动前平行四边形内6个数的和是180，移动后6个数的和增加到660，由于移动过程中每个数增加得同样多，每个数都增加了(660－180)÷6＝80，所以，左上角的数增加到20＋80＝100。

还可以这样想，平行四边形内最小的数比平均数少10，所以要求的数是660÷6－10＝100。

例7　长方形内共有2005个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2009个点。在这2009个点中，任意3个点都不在同一条直线上。以这2009个点为顶点，可作出多少个互不重叠的三角形？

解：画画试试很快发现，当长方形内加上第一个点以后，会形成4个三角形，此后，每增加1个点，就会增加2个三角形。所以，长方形内的2005个点，总共可以形成4＋2×(2005－1)＝4012个三角形。

想一想：总共形成多少个三角形？(答案：(2009×2008×2007)/(3×2×1)＝1349397084个。)

例8　将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫一次操作： 

(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边；

(2)从左到右两位一节组成若干个两位数；

(3)划去这些两位数中的合数；

(4)所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；

(5)所余的两位质数保留数码次序又组成一个新的数字串。

问：经过2005次操作，所得的数字串是什么？

解：可以这样想，开始所排成的数字串是

2357111317192329313741434753596167717379838997

第1次操作得到数字串711131131737；

第2次操作得到数字串11133173；

第3次操作得到数字串111731；

第4次操作得到数字串1173；

第5次操作得到数字串1731；

第6次操作得到数字串7311；

第7次操作得到数字串3117；

第8次操作得到数字串1173；

观察发现，第8次与第4次所得数字串相同，可见，从第4次开始出现以4次为周期的循环。(2005－3)÷4余2，所以，经过2005次操作，所得的数字串与第5次相同，是1731。

　　练习：

　　1．把2005/13化成小数后，这个小数的小数部分第2005位上的数字是几？

　　2．有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2005个数被3除所得的余数是多少？

　　3．有一串数：1，4，9，16，25，36，…，它们是按一定规律排列的，那么其中第2004个数与第2005个数相差多少？

4．如果1＝1！

1×2＝2！

1×2×3＝3！

……　

1×2×3×…×99×100＝100！

　　那么1！＋2！＋3！＋…＋100！的个位数字是几？

　　5．有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，…。这列数左起第2005个数除以5的余数是多少？

6．2005年的春节(2月9日)是星期三，再过20022005天是星期几？

7．有一串数：1，3，8，22，60，164，448，…，其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。那么在这串数中，第2005个数除以9的余数是多少？

8．把自然数中奇数：1，3，5，7，…依次排成5列(如下面所示)，把最左边的一列叫第一列，从左到右依次编号：

　　第1列　　第2列　 　第3列　 　第4列　　 第5列

　　　　  　　　1　　　　 3 　　　　5　　 　　7

     15        13        11         9

               17        19        21        23

     31        29        27        25

     ┆        ┆        ┆        ┆        ┆

这样，数2005出现在第几列？

9．紧接着1989后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如8×9＝72，在9后面写2；……得到一串数字：1，9，8，9，2，8，6，…这串数字从1开始向右数，第2005个数字是几？

10．在一张足够长的纸条上从左向右依次写上1～2005这2005个自然数，然后从左到右每隔三位点一个逗号：123，456，789，101，112，…。第100个逗号前的那个数字是几？

11．在一串分数：1/1，1/2，2/2，1/2，1/3，2/3，3/3，2/3，1/3，1/4，2/4，3/4，4/4，3/4，2/4，1/4，…中，

(1)7/10是第几个分数？

(2)第400个分数是几分之几？

12．将一个长40厘米、宽1厘米的长方形纸连续对折3次，得到宽不变的较短的长方形，然后从它的一端开始，每隔1厘米剪一刀，最后，可得到边长为1厘米的小正方形多少块，长2厘米、宽1厘米的小长方形多少块？

13．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？

14．A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第二个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子，如此进行下去。当34位小朋友放完后，B盒子中有多少个球？

15．一张面积为 1 的正三角形白纸，按下述规则涂色：每次把正三角形分成 4 个全等的小正三角形，再将中间的小正三角形涂成黑色。经过四次涂色后，白色部分的面积是多少？

16．下图中有六个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的四边中点

连接而成。已知最大的正方形的边长为10厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？

    答案：

　　1、2。    2、0。  　　3、4009。  　　4、3。 　　 5、1。    6、星期三。　　7、7。　　8、第4列。　　9、6。　　10、6。    11、(1)第88个和第94个。(2)1/20。    12、小正方形26块，小长方形7块。　　13、10条。　　  14、6个。    15、81/256。　　16、25/8平方厘米。