除数是小数的除法有余数吗

广东省深圳市宝安区西乡街道教学研究中心  张维国

在一次集体备课活动中，老师们提出这样的问题：除数是小数的除法有余数吗？真可谓一石激起千层浪，这个问题立即引起了大家的热议。老师们主要有以下两种不同的观点，他们各执一辞，谁也说服不了谁。

A方观点

小数除法根本没有余数的说法。小数除法应该研究计算结果是否是循环小数，而不是是否有余数。小数除法法则中说到“除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数……然后按照除数是整数的小数除法来计算。”而除数是整数的小数除法法则中有一句：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的末尾添0，再继续除，也没有提到最终的余数的问题。如果说除到哪一位，剩下的是余数，那到底除到哪一位呢？这样的话，余数岂不是不确定啊，何谈余数？

B方观点

小数除法也应当是有余数的。如0.09÷0.04商2，余数是（    ），这类题目是考查余数所在的数位问题。要不商2以后余下的部分不叫余数又叫什么呢？

    刨根究底

看来，小数除法到底有没有余数还真是老师们普遍困惑的问题，值得思量一翻。为得到比较权威的解释，笔者查阅了金成梁编著的《小学数学疑难问题研究》，这本书在第47页对带余除法的定义是：一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“带余除法”。带余除法的定义也可以这样表述：已知两个整数a、b（a≠0），要求这样的两个整数q、r，使得q、r满足：b=aq＋r，0，这样的运算叫做带余除法。求得的整数q叫做不完全商，r叫做余数。b、a仍然分别叫做被除数和除数。这四个数的关系记作b÷a=q……r（0）

看来，“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。只要除数不为零，不完全商和余数都存在，并且都是唯一的。按照这一说法，小数除法应该没有余数这一说法。

    但是王相国在《不完全商与小数的带余除法》（山东教育, 1998, Z3）一文中又作出了这样的描述：在实际解答小数带余除法的过程中，由于有很多师生不明确小数带余除法的意义，故得不出一个确定的答案。例如：1.82÷1.26，商是多少?余数是多少？很多师生做出很多不同的答案：①商是1余数是0.56；②商是1.4，余数是0.056；③商是1.44，余数是0.0056；……

王文作了进一步阐述：要说明这一问题，关键是要明确不完全商的概念。当a÷b不能得到整数商时，如果a最多包含q个b，也就是说，a大于qb而小于(q+l)b，即当qb时，那么这个整数q叫做不完全商，而a与qb的差叫做余数。

从上面不完全商的概念可以看出：①不论a、b(b≠0)是整数还是小数，均可作带余除法；②不完全商是一个整数；③做带余除法的方法为：按照除法运算法则作a÷b，当商到个位仍不能除尽时，所得到的整数部分商为不完全商，而被除数减去除数与不完全商的积所得的差，即为余数；④对于确定的数a、b，不完全商与余数是唯一的。

按照这一说法，小数除法也可能存在余数。

思考与结论

这两个结论看似矛盾，但如果能够厘清不完全商和带余除法这两个概念的定义范围，这个难题就可以迎刃而解。从上述内容可以看出，不完全商和带余除法是分别定义在不同集合上的两个概念。带余除法是在数论中作的定义，仅限于自然数范围；而不完全商是在有理数范围内作的定义，在这个定义域之内，除不完全商为整数、除数不为0外，被除数、除数和余数还可为小数。

因此，在研究小数除法是否有余数这一问题时，如果不考虑数的范围，简单地给一个“有”或“无”的结论都是不够严密和科学的。我们可以通过两个角度来理解小数除法中的余数。一，按不完全商定义来理解，余数可以为小数；二，因为计算除数是小数的除法时，先要将除数转化成整数进行计算，因此，我们还可以理解为小数除法借用了整数带余除法中余数的概念。在利用商不变规律把小数除法转化成整数除法进行计算时，不完全商不变，但余数要和除数同时扩大相同的倍数。因此，要得到原来的余数，还要缩小相同的倍数。

备注：本文发表于2012年《小学数学参考》数学版第三期