从波利亚的思想反思数学新课程改革

            ——关于波利亚《数学的发现》的读书报告

深圳市宝安区西乡街道教学研究中心 张维国

著名的数学家、教育家乔治·波利亚（George polya）著有三本有关数学教育的名著：《怎样解题？》(1945)、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现Ⅰ（1962）Ⅱ（1965）》。波利亚写作这三本经典著作的直接动机就是想改善当时美国中学教师的培训，从而提高中学的数学教学水平。暑假期间，笔者阅读了其中的《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》。这本著作虽然近50年前写成，但其中提到的很多教与学的问题直至今日仍然存在甚至更显严重，他所概括出的许多教与学的一般原则值得我们深刻借鉴和思考。

下面围绕教与学的主题，联系当前的数学新课程改革，分四个部分谈自己的阅读收获和体会。即，教学的目标、科学的方法、教学发生学原理、学习三原则。

一、教学的目标

《数学课程标准》（实验稿）（以下简称《课标》）从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面阐述了课程总体目标，即，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：

●获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；

●初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；

●体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；

●具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

与之对比起来，波利亚则对教学目标阐述得更为简洁，也更具操作性。他说：“我们应该教什么？作为一个教师，受到社会的委托去教你的班里的年轻人，因此你的任务就是去教那些有利于社会以及有利于你班里的年轻人的东西。”但是教师的任务要受到各种因素的干扰，因此，我们也许只会去教易于讲懂的东西，“好教的”东西，然而我们就应该只教好教的东西吗？好教的总是有利的吗？聪敏的驯兽师可以把海豹训练得能用鼻子去顶球，但是这项技术会帮助海豹抓更多的鱼吗？^[1]

在《课标》的总目标里，“好教的”东西非知识与技能莫属。而其余的几个目标均需在实现这一目标的过程中得以实现。在目前急功近利的体制下，数学思考、情感态度价值观这些内容也难以在试卷上表现出来。因此，很多学校和老师，为在短时间内看到效果，便以知识技能为教学的重心，回到老路上，用旧瓶装新酒，大量机械训练，成绩是提上去了，但是却是以严重损害学生的数学学习热情和身心健康为代价。

苏联著名哲学家伊里英科夫对于这个问题阐述得更为精粹，他说：“损坏思维的器官要比损坏人体的任何一个别的器官都要容易得多，而要医治好它却很困难。如果治晚了，要想医治好就根本不可能。损坏脑子和智力的最‘可靠’的方法之一，就是形式主义地记忆知识。正是用这种方法制造出了一些‘愚蠢’人，也就是丧失了判断能力的人……要掌握的真理本身越正确、越有‘智能’，用没完没了的重复来死记硬背，对脑子和智力的损坏也就越可靠。”

因此，波利亚的观点至今仍是振聋发聩。他的坚定信念是^[1]：“首先和主要的目标，是必须教会那些年轻人去思考。他说：“‘教会思考’意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授知识的能力；他应当强调运用的窍门，有益的心态及应有的思想习惯。”

关于这个目标，在上述波利亚的三本书中已有全面的说明。在数学课上如何实现他的见解，在这里他还侧重说明了两点：

第一，“这里所提的思想，是指‘有目的’的或‘有意识的’或‘能导致后果的’思想而非白日做梦。这种思想在我们讨论的范围内（至少在一次逼近之内），就是‘解题’。”高中数学课程的主要目标之一应是发展学生的解题能力。

第二，“数学的思想不总是纯‘形式’的，它不仅仅就只是公理、定义和严格证明，尚有许多极其重要的‘非形式’的思想过程。”“如将所观察到的情况加以一般化，归纳的论证、从类比中进行论述，在一个具体问题中认出一个数学概念，或者从一个具体问题中抽象出一个数学概念等等。”简言之，就是：“让我们尽一切努力去教会证明，同时也教会猜测。”

在第14章的习题与评注中^[1]，波利亚在讨论解题在高中课程中的作用和地位问题时，又谈到了教学的现实目标。他说，严肃的和现实的目标应该是考虑到学生以后能够运用将要去学的东西。

1）“依照学生未来在各自职业中应用所学数学的情况，姑且把他们分为三类：数学家、用到数学的人、不用数学的人。”波利亚粗略估计，以上三类人在全体高中学生中分别占1%、29%、70%。

2）在数学学习时无法预先知道学生将来会干什么或归属于哪一类人才，因此，波利亚认为办数学班要办得符合两个原则：第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教学使他们嫌弃数学。

3）在数学中怎样使各类学生从解题中获得他们应得的东西呢？这包括三个方面：有关的数学的专题知识；某些有益的思维习惯；某种一般性的我们在日常生活中称之为‘常识’的东西。一个教师，应当一视同仁地去教所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。

波利亚不愧为大师，他对数学和数学教育的认识让我们大开眼界。学生的学习虽然面临升学的压力，要面对“选拔”和“淘汰”，但是教育有比“升学”更重要的目标，那就是使学生学会做人和学会生活。因此，数学教育还要瞄准自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识，应当立足于学生的一般发展，应当是为了每一个学生健康成长的课程。这些，也许就是波利亚谈到的“常识”吧？

二、科学的方法：猜测和检验

波利亚在这本著作中反复强调观察、猜测和检验的作用。他过去和现在的哲学家们在关于科学、科学方法等的本质的认识上，提供了五花八门的图像。但是科学家们实际上究竟作了些什么呢？他们不外乎是设计出各种假设性的解释，然后让这些假设去经受实践的检验。假如你希望用几个字来说明什么是科学的方法，那么我提议它是：猜测和检验。

他结合多个实例和阐述，力求使我们认识到^[1]：观察可以导致发现，可以揭示某些规律、模式或定律；在某些好的想法或某种观点的指引下，观察更有可能得出有价值的结果。但是，观察只能给出初步的归纳结论或猜测，不能给出证明。因此，需要进一步去检验你的猜测。检验时，可以先考查一些特殊的情形和结果，因为任何特殊情形和结果如果被验证为正确，都增加了猜测的可信度；检验时，不要忽略类比，要注意想法和证明之间，猜测和事实之间的区别。

波利亚认为，要培养学生对科学的热爱，掌握科学的方法，不仅要让学生在教师引导下在某种程度上参与提出问题，更重要的，还要给学生提供“研究题目”，让学生“先猜测后证明” ^[1]。“研究题目”应当具有一个雄厚的背景，它们引出许多挑战性的问题，而这些问题又进一步引出更多挑战性的问题，直到原始问题的这些派生问题形成了一大片。那些具有与周围世界或者其他的思想领域有联系背景的题目，以及蕴含着合情推理过程的题目，比起那些充斥于教本中的、仅仅为了练习这个或那个孤立法则的习题来，更加有利于激发学生的思考能力，促进他们智力上的成熟。而目前学生从课本上或从教师那里拿到的题目，往往只是“为了去说明某一法则或者为它的应用提供某些练习。一旦目的达到，它们也就不再有用了。”同时，在许多场合，教师很少关心学生是否对这些题目感兴趣。

《课标》（实验稿）中关于数学思考这方面强调，要让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”

在解决问题方面，《课标》强调，要让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

《课标》中的提法，与波利亚的思想比较接近。但是，习惯了使用旧版教材的老师们，对新教材中不进行题型分类，不强化同类题目的练习的做法颇有异议。很多教师用着新教材，却还是用旧的方法来教。黄晓学教授谈到一个典型的例子^[2]：在某重点中学公开教研组活动时，他有幸观看了所在教研室摄制的事先未打招呼的随机听课录像。他对此次公开课的基本评价是，常规教学依然因循惯例地、我行我素地表演着、重复着呆板而枯燥的演练传统，课堂上只有灰色的理论没有鲜活的思想。这在一定程度上反映了当下课堂教学中的一部分真实。

由此可见，教法的变革永远不会象理论的觉醒那样轻松。旧瓶装新酒这种事实反映了基层教学实践文化与高层教学理论文化之间的隔离。消除这种隔离需做两个方面的努力。一方面加强教学理论的指导力和解释力；另一方面通过行动研究和案例分析促进教师的专业化发展。课程改革的中心环节是课堂教学，如何让课堂充满活力，如何让学生“学会思想’。这是决定当前乃至以后课程改革成败最关键的问题。

三、发生学的原理

要预先了解哪些内容和理论应当依照什么次序和用什么方法去教，这一点非常复杂。但“发生学原理”在这方面提供了重要的启示^[1]。

1．教学发生学原理

波利亚采用了下面的表述：“在教一个科学的分支（或一个理论、一个概念）时，我们应该让孩子重复人类思想发展中的那些关键性的步子，当然我们不应让他们重复过去的无数个错误，而仅仅是重复那些关键性的步子。”这个原理并没有硬性定下一个严格牢靠的法则，相反地，它却留给我们许多选择的自由。什么样的步子是关键性的，什么样的错误是可以忽视的？这都是需要解释的事情。发生学原理只是指导我们去判断而不能代替判断。

复述这个原理的好处在于：在了解了人类是怎样获得某些事实或概念的过程之后，我们就能更好地判断我们的孩子应当怎样去学习这些知识。

2．发生学原理得到了生物学类比的支持

德国生物学家黑克尔（E.Haeckel，1834～1919）给出的“生物发生学基本定律”的简明形式：“个体发生学大致重现了系统发育学（动物种类的进化历史）”。所指的是个体的动物的发展重现了这个动物所属种群的进化历史。也就是说，当动物的胚胎经过从受精卵到成熟形体的发展过程中依次的各个阶段时，它的每一个阶段都很类似于它所属类的祖先的发展次序。

这些类比，当然仅仅是一些启示的来源，并不是教学发生学原理的一个证明。

3．科学认识历史发展的三阶段

“在科学的（理论的、概念的）各个分支的历史发展过程中，我们可以区分出三个阶段：

1）探索阶段：在跟实际事物接触当中提出了最初的想法，但常常是不完整的、或者是错误的想法。

2）表述阶段：对所接触的材料进行整理，引进了适当的术语，并且认识到了其规律性。

3）同化阶段：规律性在更广的范围内被认识，并且得到了推广和应用。”

波利亚强调：只有阅读伟大作者的原著，才真正使我们确信教学的发生学原理。正如麦克斯韦J.C.Maxwell《电磁学通论》序言中所说的：“任何科学领域的学生，阅读一下该领域中的原著是大有好处的，因为科学在它处于初期阶段时，总是最好理解的。”

4．根据发生学原理，学生应当重复原来发现者走过的途径。根据主动学习原理，学生应当尽量地做到自己去发现。这两个原理结合起来，就告诉我们学生应当去重新发现他必须学的东西。

《课标》强调教学要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。《课标》中强调的这些与波利亚的主张有很多相似之处。教学内容不仅包括数学的一些现成成果，还包括这些结果的形成过程。学生通过这样的学习过程，可以理解一个数学问题是怎么提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的，了解知识的来龙去脉，通过这个过程学习和应用数学。这样的学习符合发生学原理，也符合科学认识的规律。

对于这一点，虽然《课标》中有一定的强调和说明，但并不表示在实践中，老师们都是按发生学的原理进行教学的。在随堂观课中我们发现，老师们往往可以把理论说得头头是道，但是在实际上课时，还是就知识教知识，抓“考点”机械训练。只有一部分积极参与课改的老师，能够在教学中部分地实践《课标》中的理念。因为这些“关键性的步子”太难把握了！《课标》对于教师们理解起来困难和难以操作的地方没有作详细的说明和示例。对于完成课改这样的重任，老师们还缺乏有效的有针对性的指导与训练。特别是新手教师，他们在读书时连课标都没有认真读过，连教材的编写意图都没有很好领会，就担任起繁重的教学和管理工作了，摆在他们面前的，显然是更为艰巨的任务。

因此，在我看来，课改就类似一个大型的实验，在很多准备工作都没有做好的情况下，先“摸着石头过河”。我们从西方借鉴了很多成功的理论和做法，便开始了由上而下的改革。但课程改革最终需要广大一线教师去实践，我们对于教师的培训工作做得实在少得可怜，即使是做培训，老师们也很少在思想和素养上有根本的改变。因为我们的改革属于“嫁接式”的、“指令式”的，没有从根本上调动广大教师改革的主动性。在评价机制未做根本改变，主要以知识技能为主要评价内容的情况下，要让老师们真正的参与到课改中来，真的很难。

四、学习三原则

波利亚说明：‘原则’本身决不是新的发明，它们早就被用不同形式反复叙述过了。它们来自长期经验的积累，为伟大人物的判断所认可，并且也是关于学的心理学研究的成果。这些“学习的原则”也可以当作为“教学的原则”^[1]。

1．主动学习

“许多人都在不同场合讲到，学习应当是主动的，不要只是被动或消极接受。仅仅靠阅读或听课、看电影而不自己动脑筋，很难学到什么。”

还有另外的说法：“学习任何东西的最好途径是自己去发现”，“为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现所要学习的材料。”

2．最佳动机

学习应当是主动的，然而倘若学生没有学习的动机，他就不会去主动学习。他必须要有某些激励的因素。

“为了有效地学习，学生应当对所学的材料感到兴趣并且在学习活动中找到乐趣。此外，除了这些学习的最佳动机之外，也还有其他的，其中有些也是值得考虑的动机（例如不学习带来的惩罚也许是最后一个可供考虑的动机）。”

对所学内容的兴趣是学习最佳的刺激，强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动最好的报偿。

3．阶段序进

学习从行动和感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。无论是认识简单粗浅的事物还是把握那些更加复杂和高深材料的工作中，都存在着类似的认识的三个阶段：

1）探索阶段：这一阶段处在一种比较直观和启发式的水平上，更接近于行动和感受。

2）形式化阶段：这一阶段引入了术语、定义、证明等，上升到了一个较为概念化的水平上。

3）同化阶段：到这个阶段，应当有一种洞察事物‘内部境界’的尝试，应当让所学习的材料经过消化吸收到学生的知识体系中，到学生的整个精神世界中去。这个阶段一方面铺平了通向应用的道路，另一方面又打开了通向更高级的推广道路。

这实质是类似科学历史发展的3个阶段。而这一点，在《课标》中也可以看到它的影子。《课标》强调，要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”

阶段序进原理启示我们：对于有效的学习，在语言文字表达及概念建立的阶段之前应当先有一个探索阶段，最后，学习所得将转化为学生的才能和品性，融入其中，变成精神素质的一部分。这显然与《课标》的阐述达到异曲同工之妙。

在《数学的发现》这本书中，作者的思考和建议远远不止这些。作者试图通过深入浅出的论述，教会读者如何去思考和剖析问题，激发起读者内在的能动性和创造精神，学会数学的思维方法，从根本上提高数学素养。在本书的各章中，作者通过对各种类型生动而有趣的典型问题进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型。作者以平易浅显的语言，应用启发式的叙述方法讲述了有高度数学概括性的原理，使得各种水平的读者，都能获益匪浅。同时，波利亚还结合自己多年对中学数学教师的培训经验，提出了著名的教学三原则和教师十戒。对教师提出了宝贵的教学建议。

捧读此书，常能找到课改理念的源头，也能激发很多设计课的灵感。波利亚是个宝藏，他一直就在那里等待我们细心品读。读过此书再反观教与学，无论在思想还是行动上，我们都一定会有很多新的振奋人心的发现。

 

［参 考 文 献 ］

[1] (George polya)乔治.波利亚.《数学的发现:对解题的理解、研究和讲授》.刘景麟，曹之江，邹清莲译.北京：科学出版社，2006. 315~316，280~281，303~305，343~345，316~317，283~284，285~286，286，286，287，287，298，300，301，302~303，303

[2]黄晓学.从惑到识:数学教学中学生认识的发生原理.徐州:中国矿业大学出版社，2007.7