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第二讲:简单的等差数列求和【三年级秋季解答】

(2013-10-11 17:44:06)
标签:

简单

等差数列

三年级数学

教育

分类: 三年级数学培训解答

知识导航

   被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候,就用一种非常简便、快速的方法算出了1234+…+4950的结果。高斯,真是一个神童!现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧!

数列的第一项叫首项,最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和,可以用以下关系式:

等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2

=(大+小)×个数÷2

但是往往在求和时,项数或者末项还不清楚,所以还需记住以下两个公式:

最大数=小数+公差×(个数-1);或最小数=大数-公差×(个数-1

个数比公差数多1,所以个数=(大-小)÷公差+1

精典例题

1下面算式求和,你有妙招吗?

        12345+……+17181920

思路点拨:方法一:凑整法。从120总共20个数,我们发现1+19=202+18=203+17=20……9+11=20,每两个数为一组,每组和为20,最后不要忘记加上1020哦!方法二:配对求和:可用最大加最小,次大加次小等培对的办法,每两个数为一对,每对和都是21,共10对。

方法一:凑整法。

        12345+……+17181920

       =1+19+2+18+3+17+……+9+11+10+20

       =20+20+20+……+20+10

            =20×10+10

            =210

方法二:配对求和。

12345+……+17181920

=1+20+2+19+3+18+……+9+12+10+11

    =21+21+21+……+21+11

    =21×10

    =210

模仿练习

    计算135791113151719

         =1+19×10÷2

         =20×5

         =100

2你能迅速算出下列算式的结果吗?

        123456789=   

思路点拨

    如果我们还是按照配对求和的方法,1+92+83+74+6,那么还剩下5就不能配对了,为了解决这样的问题,高斯又发现了有新的绝招:

 

现在你该知道怎么写算式了吧!快快行动吧!

方法一:等差数列求和法。和=(大+小)×个数÷2

      =1+9)×9÷2

      =45

方法二:等差数列个数是奇数个时,中间数就是它们的平均数,所以和=中间数×个数

      =5×9

=45

模仿练习

112345654321

可以配对思考,两个数组成一对,和为6.66,所以爬山数列的和=山顶数×山顶数

    =6×6

    =36

 

212345678910987654321

同理配对思考,两个数组成一对,和为10.1010,所以爬山数列的和=山顶数×山顶数

=10×10

     =100

 

3光头强伐木场将粗细均匀的圆木堆放一起,最上面一层堆4根,下面每层都比上面每层多1根,最下面一层堆了23根圆木,你知道这堆圆木共有多少根吗?

思路点拨:本题是用配对求和的方法解决生活中的实际问题。在解决这类题时,要能够根据题意,把对应的算式写出来。小朋友,边读边试试吧!

圆木总根数:4+5+6+7+8+……+22+23,即等差数列求和。知道了大数和小数,先求个数。

即层数:(23-4)÷1+1=20层,即20个数。

所以共有:(4+23)×20÷2

        =27×10

=270(根)   答:共有270根。

 

模仿练习

   熊熊电影院有8排座位,第一排有10个座位,以后每排总比前排多2个座位,最后一排有24个座位,熊熊电影院一共有多少个座位?

电影院座位总数:10+12+14+16+……+24

8排座位,所以有8个数相加。

总座位数:(10+24×8÷2

         =34×4

         =136(个)    答;电影院一共有136个座位。

学以致用

A

1.12345678910        2.2468+……+161820

这列数有10                                   个数:(20-2÷2 +1=10

=(1+10) ×10÷2                                 =(2+20) ×10÷2

=11×5                                          =22×5

=55                                             =110

3.616365+……+7981             4. 203207211215219

这列数有(81-61÷2 +1=11               共有5个数,奇数个,中间数就是平均数。

=61+81×11÷2                                =211×5

=142×11÷2                                      =1055

=71×11

=781

B

5. 21222324+……+50   6.995993991989)-(994992990988

个数:(50-21÷1 +1=30         分组配对思想。

=21+50                    =995-994+993-992+……+989-988

=71×30÷2                            =1+1+1+1

=2130÷2                              =4

=1065

7. 1500712972287327742675257624772378227921

运用连减,减去和的性质进行计算

=1500―(71+29+72+28+73+27+74+26+75+25+76+24+77+23+78+22+79+21

=1500-100×9

=1500-900

=600

8. 80001009998979695-……-321

=8000-100+99+98+97+……+3+2+1

=8000-100+1×100÷2

=8000-5050

=2950

 

C

9. 123+……+98991009998+……+321

=100×100

=10000

 

10. 所有的两位数中,十位数字大于个位数字的数共有多少个?

所有的两位数,最小的是10,最大的是99,在这些两位数中,十位数字大于个位数字的数,可以分类计数:

十位上是110                 1

十位上是221  20             2

十位上是3303132          3

……

十位上是9909192939495969798。有9

所以符合条件的两位数共:1+2+3+4+……+9=45个。

答:共有45个。

 

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