·文章导读·

数学，是离不开解题的。

解题，是学习数学的必要甚至是必需的手段和途径。这，是由数学的学科特性和学习数学的规律所决定的。正因此，波利亚有《怎样解题》的名著，国内如张景中院士、罗增儒教授、单墫老师、陈永明老师都有关于解题的专文、专著。当然，您会说他们都侧重于中学，但对小学生而言，解题何尝不是深化概念理解、熟练技能、提升能力的必由之路？

 

只是，需要警惕两种现象。一种是“功利主义”下，把数学学习简化为解题。借用鲁迅先生的话，在有的老师眼里，学校只有两棵树，一棵是分数，另一棵也是分数。刷题成了提分的法宝，学生熟能生巧，同样，熟能生厌！另一种则是过分强调“建构”，忽视数学学习的规律，不敢让孩子多解题，结果带来“课上不练课下练，校内不练校外练，师长不练机构练”的窘境。我们认为，解题是数学学习躲不开的，但如何让解题更有含金量，则是值得思考的。

 

从这样的背景出发，顾亚龙老师的“题组模块”给了我们新的启发。由“题”到“题组”，再到“题组模块”，体现的是对单一题目的超越，是对数学学科特性和学生学习规律的把握与顺应。由此，我们看到，通过题目，不仅可以训练旧知，还可以作为学习新知的切入口，成为突破难点、数学建模的途径。“题”的功能和意义被拓展了，其价值被提升了。

 

“题海”无涯苦作舟！有了“题组模块”，或许可以让孩子们少吃一点苦，因为“模块”就是茫茫数海的思维之舟。

——撰文：陈洪杰

题组模块

给数学课堂以生长的力量

一、缘起

在日常的数学课堂教学中，老师们一直面临着这样的两难困境：新授或者重难点内容讲完后，尖子生也许能心领神会，甚至能触类旁通，但许多中下生却依然懵懵懂懂，不得要领。若顾及到中下生，可能教学任务无法完成；若按照尖子生的节奏往下讲，进一步的练习、变式、拓展，则让中下生有一种越来越跟不上的焦虑与挫败感。长此以往……于是，当堂无法完成的任务，只能靠事后做大量的题来弥补，便又陷入了“刷题”的僵局。

众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学[1]。但随着数学的迅猛发展，许多新的数学分支，如：混沌、群论和数理逻辑等，已经不再局限于数量关系和空间形式的范畴。因此，数学专业研究者们一直在寻找关于数学的更加本质的定义。

1939年，英国数学家、哲学家怀特海在《数学与善》中率先指出：数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。半个世纪后的1988年，美国数学联合会前主席斯蒂恩在《科学》杂志上发表的《模式的科学》一文中提出：数学是关于模式的科学。众多的数学家、哲学家都认为这是一个定位恰当的定义。这里的模式包括了“数量关系、空间形式、结构、模型”，因而对现行课标上关于数学的定义具有内在的兼容性。

从数学模式论的视角审视日常数学教学实践中的两难困境，一个重要的启迪是：既然“数学是关于模式的科学”，那么，作为教育任务的数学教学，就不能舍本逐末，不能被“题海”所遮蔽，不能止于显性的数学知识的习得，而是要基于知识的感知、理解，指向对数学模式的建构。

实践的困境与理论的启迪，直接促成了我们对数学题组模块教学历时8年的实践研究。

二、题组模块的内涵

认知心理学研究表明，碎片化学习材料的可辨识度比较低，因而既不利于学生的记忆，也不利于学生的理解；而将学习内容进行结构化设计，能显著提高内容的可辨识度，有利于学生在感知、理解基础上数学模式的建构。在日常的数学课堂教学中，对例题或重难点内容的精细讲解往往是一种碎片化呈现，学生的感性认识比较单薄，没有厚积，何以薄发？对中下生尤其如此。因此，将学习内容进行结构化设计，即：创设具有适度挑战性的数学问题情境，引导学生经历或重走数学发生发展过程中的那些“关键步子”，引导学生逐步生成“在题型结构、解题方法或数学思想上基于同一数学模式的一组题构成的训练模块——题组模块”。基于题组模块的结构化呈现，先引导学生举三反一，形成初步的数学结论；再举一反三，变式拓展。在题组模块的动态生成过程中，以老师有结构的教，促进学生有关联地学，是引导学生指向对数学模式的感知、理解与建构的一个有章可循的方法。

虽然几道题（如4道计算题）可以看着是一组题，但未必是题组模块。题组模块是有着内在关联性的一组题，其关联的核心是它们“基于同一数学模式”。

模型与模式的关系：数学模型是针对参照事物的某种特征或数量依存关系,采用数学语言,概括地或近似地表述出的数学结构，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[2]。数学模型关心的是数学的外部，是解决一类实际问题的方法。

数学模式关心的是数学内部，是能够认识和解决一类数学问题的方法[3]。因此，模式比模型更为抽象，也更具有一般性。

三、题组模块的价值举隅

由于构成题组模块的一组题基于同一数学模式，因而具有结构化特征。题组模块以结构化超越碎片化，让隐性的数学规律显性化，可视化，让数学模式变得既可意会，又可言传，亦可把握，因而能有效惠及大多数学生的数学学习。实践表明，题组模块是通向理解的阶梯、突破难点的钥匙、数学建模的基础。

(一)题组模块：通向理解的阶梯

理解，是学好数学的基础的基础。但仅靠例题讲解要想让所有学生都达到普遍理解，老师们都有一种孤掌难鸣的无力感，因为碎片化内容的可辨识度低，学生“没感觉”。如何才能助孩子突破“理解”这道坎儿呢？

案例：《计算比赛场次——单循环赛》

学校运动会上有掰手腕、拔河等比赛项目。其中有4位同学（甲、乙、丙、丁）进行掰手腕比赛，每两人之间只赛1场（即：单循环赛），一共要比赛多少场？想一想：请用你的方法来验证。

基于前置性的预学习，学生在课上呈现了连线、搭配、枚举等个性化的方法（如上图所示），总场次：3+2+1=6（场）。但这只是一种碎片化呈现，对于中下生来说，感性的认识太单薄了！只有将学习内容进行结构化设计，即：引导学生生成题组模块，才能增强学生的直观理解。

片断一：

师：大家都算出4个人单循环赛共赛3+2+1=6（场），如果增加1人，5人一共赛几场？

生：只要让新增加的那个人与前4人各补赛一场，总共4+3+2+1=10（场）

师：再增加1人呢？6个人一共赛几场？（相机生成题组模块如下表）

 

师：观察表格，你发现什么？

生：我发现每人比赛的场次总是比参赛人数少1。

师：为什么？

生：因为自己不能与自己比赛。

生：我发现每人比几场，总场次就从几开始依次连加到1。

评析：表中这组连加算式的“同构关系”，让隐性的计算方法显性化，成为学生通向数学理解的第一个阶梯。

片断二：

师：如果是我们全班的40个人比呢？

生：用39+38+……+2+1=780（场）。

师：写着这样的算式，你有什么想法？

生：数据大了，计算起来太麻烦，有没有更加简单的计算方法？

师：其实，在正规比赛中记录比赛场次，并不是采用连线法或枚举法，而是采用表格法。（如下表）

师：从表中清楚地看出：4个人比赛，每人3场，应该一共是4×3=12（场）。但前面大家用多种方法都验证了总场次是6场，这是为什么呢？

生：因为这个表格里每两人之间都赛了两场，是双循环赛，其中有一半儿重复了，所以，单循环赛求总场次，要用4×3÷2，总场次还是6场。

师：5人、6人、40人、n个人呢？用乘除法怎么求总场次？（生成下表）

 

由于上表中4道式子的结构相同，以往需要老师特别“告知”的特点、方法、规律，在题组模块中自然而然地外显出来，学生的归纳则水到渠成。

评析：古人云：声一无听，色一无闻，味一无果，物一无讲。——《郑语·国语》。意即：单一的声音不成其曲调，没有听头；单一的颜色不成其作品，没有看头；单一的食品不成其美食，没有吃头；单一的事物无从比较，没有说头。正因为单一的习题无从比较，所以，要先“举三”学生方能“反一”，这符合孩子认知发展的一般规律，能惠及大多数孩子，是助孩子迈过“理解”这道坎儿的又一个阶梯。

片断三：

在运动会拔河比赛中，有如下信息，请将表格补充完整。

 

从上表中的任何一个已知量都能推导出其它相关量，引导学生从多个不同的维度思考各个量之间的关系，深度理解计算比赛场次的方法。本表的设计由浅入深，层层递进，灵活生动。

评析：相较于前表“举三反一”式的归纳，本表中充满思维张力的变式练习则是“举一反三”，巩固拓展，曲径通幽，学生对单循环赛计算方法的理解更加通透明白，学生的理解又迈上一个新的阶梯。

 

（二）题组模块：突破难点的钥匙

突破难点，历来是数学教学的重中之重。如何突破难点？根据内容的不同，方法、手段、载体会有所不同。教学实践表明，构建题组模块是突破难点的有效方法和载体之一。

案例：《怎样围面积最大》

《怎样围面积最大》是沪教版三年级学生学习了“长（正）方形面积与周长”基础上的一个拓展性内容。学生虽然知道面积和周长是两个不同的概念，但这个年龄段的孩子却总有这样的迷思：既然长方形的周长相等，它们的面积也就相等。显然，习惯了定量思考的学生用变化的眼光思考问题的意识与能力还比较弱。

因此，“周长相等的长方形，长与宽越接近，面积就越大”成为本课教学上的一大难点。为突破这个难点，学生通过预学单进行了前置性的预学。

预学单

用一根26米长的绳子可以围出哪些不同的长方形？（长、宽取整米数）

在下面的格子图上把它们画出来，并标出长和宽。（略）

 

 

片断一

基于学生的前置性预学习，整理生成下表中的题组模块：

 

生：我发现，长与宽越接近，面积越大。师：观察表格，你发现什么？

师：你是从上往下看的，还可以怎么看？

生：从下往上看，发现“长与宽相差得越大，面积越小”。

师：表中的长也变了，宽也变了，面积也变了，什么没有变？

生：（齐）周长没有变。

师：所以，大家刚才发现的规律有一个重要的前提是：周长相等。

    即：周长相等，长与宽越接近，面积越大。

师：除了上、下看，还可以怎么看？

生：还可以左、右看。

生：从左往右看，周长相等的长方形，面积不一定相等。

师：从右往左看呢？

生：从右往左看，面积不相等的长方形，周长可能相等。

……

评析：表中题型结构、数量关系相同的6种围法构成为题组模块。题组模块的结构化呈现，让学生直观地看出在长与宽逐渐接近的过程中，面积的变化趋势。甚至于对三年级学生来说相当抽象的“周长相等的长方形，面积不一定相等；面积不相等的长方形，周长可能相等”学生都能基于表中的数据有所领会。如果脱离了题组模块，要让学生达到这样的理解是难以想象的。

片断二

师：小小一张表，上看下看左看右看，里面大有学问。学问学问，要学就得问；对于观察得到的这些规律，你有什么疑问？

生：为什么长与宽越接近，面积就越大呢？

生：同样长的一根绳子，为什么围出来的面积有大有小呢？

师：问得真好！学习，就要有这种打破沙锅问到底的精神。

 

师：观察上面这些图形围的过程，每一次长与宽逐渐接近时，方格数既有增加，又有减少；可为什么面积却越来越大呢？

生：因为，每一次增加的总是比减少的要多一些，所以，面积就越来越大。

……

评析：虽然学生从表格中直观地看出了“周长相等，长与宽越接近，面积越大”的变化趋势，但他们知其然却不知其所以然，这正是学生理解上的难点所在。因此，回鞭方格图上画出的长方形，将图形与每次“方格数既有增加又减少的算式”相对照，以形注数，以数释形，这是突破难点的一把“钥匙”。

（三）题组模块：数学建模的基础

数学是关于模式的科学，题组模块则是促进学生从特殊到一般进行数学建模的基础。

案例：《行程问题（练习课）》

甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，4小时后相遇。A、B两地相距多少千米？

（72+48）×4=480（千米）

师：这道算式的数量关系是什么？

生： (V1＋V2) t = S

片断一：

师：请将原题中的某个条件变成问题，编题并列方程解答。

经过交流，依次列出了求相遇时间、乙车速度、甲车速度的三道方程：

1.解：设x小时后两车相遇.

( 72＋48)  X = 480

2.解：设乙车第小时行x千米.

( 72＋ X )× 4 = 480

3.解：设甲车每小时行x千米.

( X ＋48 )×4 = 480

    师：观察这三道方程，它们所求问题各不相同，但什么没有变？

生：它们的等量关系没有变，都是(V1＋V2) t = S.

师：等量关系相同，只是未知数在方程中的位置不同而已。因此，从方程的角度看，可以将它们看成是一类题。所以，会读书的人，不仅要学会一题多解，更要学会多题一解，这样才能“把书越读越薄”。

评析：通过问题联想，一题三变，但三道方程和原题的结构是相同的，都是(V1＋V2) t = S。引导学生透过形式走向实质，感受到它们内在的关联性，领悟到数学的本质特征是抽象，抽象出的是一种数学模式。

片断二

师：刚才这四题，除了数量关系相同，它们还都是“同时出发”，而且最后都“相遇”了。但现实生活中的行程问题，一定是“同时出发”？而且最后都一定能“相遇”吗？

生：不一定。可能一先一后出发。

生：也可能同时出发，在中途有辆车停下来了。

生：还可能两车没有相遇。

生：还可能两车相遇后继续朝前行开。

……

师：大家的想象力真丰富。如果把原题改一改：

1.甲、乙两车同时从相距480千米的A、B两地相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车还相距120千米？

2.甲、乙两车同时从相距480千米的A、B两地相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车又相距120千米？

3.甲、乙两车同时从相距480千米的A、B两地相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车相距120千米？

    引导学生分别列方程如下：

1.解：设x小时后两车还相距120千米。

( 72＋48 )X =480－120

2.解：设x小时后两车又相距120千米。

( 72＋48 )X =480＋120

3.解：设x小时后两车相距120千米。

   ( 72＋48 ) X =480－120

( 72＋48 )X =480＋120

师：这三道题的问题从“还相距”到“又相距”再到“相距”，一连三变，什么没有变？

生：它们的等量关系没有变，还是(V1＋V2) t = S。

师：只是在总路程S的后面加上多行的120或减去未行的120而已，因此，它们与原题属于同一类题。孩子们，数学的题目是做不完的，也没有必要做完，真正的高手，要能练一组题，通一类题，这样才能“把书越读越薄”。

 

题组模块的实施策略之三：关注模式，指向素养

题组模块内在地契合着数学学科的本质特征，在某些数学课形式大于内容，甚至有“去学科化”苗头的当下，深刻领会和准确把握“数学是关于模式的科学”的思想精髓，在题组模块的实施过程中，秉持“基于知识，高于知识，关注模式，指向素养”的价值取向，以老师有结构地教促进学生有关联地学，这成就着老师的实践智慧，也成就着学生的数学素养。

题组模块的“生成、抽象、变式、拓展”内在地契合了杜宾斯基数学概念教学APOS理论模型的“操作、过程、对象、图式”四阶段。既符合数学发生发展的演绎过程，又遵循儿童认知发展的一般规律，具有普适性，因而利教便学，能给数学课堂以生长的力量。

诚如一位资深数学教学专家坦言：数学教学，如果不搞题组，那就只好搞“题海”。