推理能力的理解与实例分析

马云鹏 ( 东北师范大学教育学部 教授 )

推理能力在数学学习过程中是非常重要的，也是数学专业素养的一个重要组成部分。无论是小学数学还是中学数学都离不开推理。

一、推理能力的含意

《标准》对推理的表述是：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

《标准》强调合情推理和演绎推理两个方面同等重要。

1 ．合情推理。合情推理包括归纳与类比，合情推理在小学数学中用的更多。这里边的合情推理是探索数学的思考方式，更多的用于探索，而演绎推理更多用于证明。小学数学学习中以合情推理为主，绝大多数的结论、法则、规律都是通过归纳类比方式得出。但小学数学中也有一些和演绎推理类似的，虽然不是严格的证明，但是其说理的方式也可以是推理方式。

加法交换律的归纳过程： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image002.gif从个别推到一般规律的方式就叫归纳推理。同样，分数基本性质和小数基本性质： 0.3=0.30=0.300 。即小数点后边填上零或减去零，小数的大小不变。当然学习近似值时准确程度是有区别的。同样在几何方面也用到合情推理。比如三角形内角和是 180 度，我们可以用实验的方法验证直角、锐角和钝角内角和都是 180 度。严格的证明是在中学之后，但是这也是一种归纳方式，得出所有三角形内角和都是 180 度。

2 ．演绎推理。小学数学中也有通过演绎推理来阐述的一些问题，简单来说“三段式”说理过程，也符合演绎推理。

比如判断长方形、正方形是不是平行四边形，并说出理由。小学里要求学生这样叙述：因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ( 大前提 ) ，而长方形、正方形的两组对边也是分别平行的，而且有四条边 ( 小前提 ) ，所以，长方形、正方形是平行四边形 ( 结论 ) 。这里边的论证方式符合演绎推理的论证方式。

还有凡是奇数都不能被 2 整除，为什么？学生叙述：能被 2 整除的数是偶数 ( 大前提 ) ，因为 13 是奇数 ( 小前提 ) ，所以 13 不能被 2 整除 ( 结论 ) 。

另外根据 36÷9=4 很快说出 3600÷900 的商，并说出根据。学生叙述：根据被除数和除数同时乘以或除以一个不为零的数，商不变的性质 ( 大前提 ) ， 3600÷900 的被除数和除数同时缩小 100 倍，就是 36÷9( 小前提 ) ，所以 3600÷900 的商也是 4( 结论 ) 。

以上的例子中，“说出理由”、“说出根据”、“说出为什么”、“你为什么要这样计算”、“你为什么要这样列式” …… 这些提问，大前提是什么，小前提是什么，最后得到什么结论，都体现了学生的演绎推理能力。

二、推理能力在数学学习中的价值

1 ．数学是思维的体操，学习数学一个很重要的目的是学会正确思维，推理是数学思考的重要形式，所以应该引起重视；

2 ．学会推理是数学素养的基本表现，数学是基础知识、基本技能、基本思维、基本活动经验，在这个过程中都离不开数学思维；

3 ．推理能力的培养应贯穿数学教育的始终，整个教学中都应该体会这种数学推理。

三、教学中体现推理能力的案例分析

【案例 1 】 ^[1]

吴正宪老师在教学《约分》时出示了这样一道题：判断 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif 是不是最简分数。学生 A ： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif是最简分数。 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif可以化成假分数， 4 和 3 是一对互质数，根据“分子分母互质的分数叫做最简分数”的规定，可以确认 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif是最简分数。

学生 B 不服气： 4 和 3 虽然是互质数，但是你可别忘记 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image009.gif 是个假分数。因此，我认为 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif不是最简分数。

（显然，假分数在这里出现负面影响，同学们对最简分数的内涵还欠缺本质的理解，把假分数与最简分数这两个不相关的概念扯到了一起。）

此时，吴老师没有急于揭露问题的实质，而是站在一旁表现出若有所思的神情：“是啊，谁对谁错呢？我建议你们双方查找资料或请教他人，用科学的依据来阐述自己的观点。”讨论又一次推向高潮。有的同学急于打开课本寻求支持，有的则三一群，俩一伙地讨论开来。

学生 A 一方显然有些激动：请问对方，什么叫最简分数？

学生 B 一方对答如流：分子分母互质的分数叫最简分数。

学生 A ： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image009.gif的分子分母是不是互质数，请回答。

学生 B ：是。

学生 A ： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image009.gif既然符合最简分数的规定，你们为什么反对？

这时又站出一个学生 C ：我认为 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image009.gif不是最简分数，因为它不是真分数。

学生 A 一方来了情绪：谁告诉你最简分数必须是真分数？哪本书上有这个规定？

全班同学向学生 A 投去赞许的目光。

学生 C 底气已不足，皱起眉头，陷入了沉思。

始终在一旁观阵的学生 D 不失时机地站起来坚定地说：“我断定 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif是最简分数。教材上并没有规定最简分数必须是真分数或假分数。只要符合分子分母互质这个条件就可以。”

课堂上响起了掌声。吴老师笑着说：“你们高水平的辩论真可以和中央电视台举办的大学生辩论会一比高低。”同学们开心地笑了。

吴 老师接着说：“今天的辩论不仅搞清了 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif是不是最简分数，更重要的是我们从同学们各方的发言中学到了很好的学习方法。一是学会查资料，寻求理论依据；二是从概念的定义出发去判断事物。最重要的是通过争论碰撞，我们大家都从同伴的身上学到了乐于思考，勇于挑战，善于学习的态度和技巧。”

吴 老师又走到学生 B 跟前，抚摸着他的头，幽默地说：“许多事情好像都是人为约定俗成的。不过，如果今后你发明一项规定：只有真分数的分子、分母互质时，方可称为最简分数。说不定教材就变了呢？我们大家期待你的发明。”

同学们笑了，吴老师笑了，听课的老师们笑了，笑得那么和谐。

【案例 2 】 ^[2]

这是在教学《商不变的性质》时的一个插曲，在学生初步总结出规律后，吴老师抛出了这样的问题：

师：这个性质对所有的除法算式都适用吗？你们有没有对其它算式进行试验呢？（同学们心领神会，拿起笔，用不同的算式开始了验证。）

生：在 8÷4 ＝ 2 ， 16÷8 ＝ 2 ， 80÷40 ＝ 2 ， 800÷400 ＝ 2 中也发现了相同的规律。以第 1 题为标准，后面 3 道题的被除数和除数分别扩大了 2 倍、 10 倍、 100 倍，商不变；以第 4 题为标准，前面 3 道题的被除数和除数分别缩小了 10 倍、 50 倍、 100 倍，商也没变。

（教师将这组题也板书在黑板上，还有同学举出了不同的例子，也验证了这个规律。）

生：老师，我有一个问题， 12÷6 也等于 2 ，与 8÷4 ＝ 2 这两道题之间符合这个规律吗？两道题的商没变，被除数和除数是怎么变化的呢？

师：问题提得好，谁能来帮忙解释？（她充满信任的目光注视着班里的每一个人，也鼓舞着班里的每一个人。）

生：我觉得符合这个规律，被除数和除数都同时扩大了，只不过不是整数倍。师：你能说说是多少倍吗？

生：是一倍半吗？

师：对了，就是一倍半。你真聪明，看到了被除数和除数同时扩大了 1.5 倍，这道题同样符合这个规律，今后的学习，我们会接触到这个问题，那时就会更加理解了。

生：（这是一个男同学高高的举起了手，急切的说）我还发现了一个问题，在我们刚才总结的规律中我认为要把“ 0 ”除去，这样才严密。

师：同意他的说法吗？

同学们不由自主的为他鼓起掌来。

分析：第一个例子，老师让判断是不是最简分数，一部分学生认为是最简分数，因为 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image004.gif可以化成 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/1/image009.gif，根据分子分母互质的分数是最简分数的规定， 4 和 3 互质可知是最简分数。而另一个学生认为这是个假分数，所以不能算作最简分数。吴老师没有下定论，建议双方查查资料再讨论。最后发现教材没有规定最简分数必须是真分数。我们来探讨这个学习的过程，学生说明了自己对这个问题的看法，找出了自己说话的根据。问题本身固然重要，但培养学生有条理地说理更是对数学思维的训练。吴老师让他们深入讨论背后有思维能力、推理能力的培养，目的是培养学生有根据的说话，这才是最终目的。

另一个例子是吴老师问大家商不变性质是不是对所有除法都适用，即被除数和除数同时乘以或除以一个不为零的数商不变的性质。大家开始举例， 8 ÷ 4 ， 16 ÷ 8 ， 40 ÷ 20....... ，但是有个学生提出 12 ÷ 6 也得 2 ，即分子分母不是同时扩大整数倍也符合商不变性质。他这属于找特殊的例子进行反证法，不是整数倍也符合，除以一个数也符合。

通过这两个案例分析可以看出，推理能力的培养不仅在认识和了解数学概念时，而且在归纳和演绎过程中。学习圆周率时，找出不同大小的圆，分别测量其周长和直径，然后计算出周长和直径的比，发现其比值是一个固定的数，这就是培养学生的推理能力。事实上，教学过程中学生对某些问题有疑问时，让学生有根据说理过程也是培养学生的推理能力。

所以，数学推理随处可见，在学习内容和教学过程中，在一些关键问题存在疑问时，在争论过程中去说理，培养推理可以是老师故意设疑，在解释你的疑问过程中就提高了学生说理能力。另外课堂教学中不要害怕出现难题和疑问，出现疑问在解决问题过程中恰恰是培养学生严谨的逻辑思考的能力，谁把对方说倒了，就证明说的有道理，说得有道理就是一种推理。推理与说理密切相关，推理不一定都严格是三段式，很多情况下是隐含大前提，小前提和结论。培养合情推理能力的重要性，合情推理是用归纳类比来培养学生数学的思考。合情推理的最重要价值就是用于数学的探索，往往发现一个数学规律是合情推理，验证一个结论使用演绎推理。培养创新和创造都是从看到一些个别事实看它是否符合一般规律，从个别事实到一般规律就是归纳，有了猜想，然后反过来证明。教学过程中发现推理能力也是随处可见，只要我们认认真真去思考，有意识培养学生思考的推理能力。我们老师在实际教学中也有很多这种类似的案例，我们有意识地把它和学生的推理、说理能力联系起来，这样学生思考能力就会得到很好地发展。