运算能力的理解与实例分析

马云鹏 ( 东北师范大学教育学部 教授 )

运算能力是学习数学的重要能力，运算能力的培养不仅对于小学数学学习有着重要意义，对将来进一步学习也是重要的。

一、运算能力的含意

《标准》中指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

可以从两个方面理解《标准》对运算能力的要求。一是正确地进行运算的能力。进行任何计算，正确是第一位，首先要解决算对的问题。而运算结果的正确性是由运算程序或方法决定的，掌握运算程序和方法是正确运算的保障。二是在解决问题的过程中合理地运算、恰当的运算。

下面是教材中运算教学的呈现方式：

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在运算教学中，使学生理解算理至关重要。教材中呈现了一些物品的单价，问买4个火腿需要多少钱？列算式后，用摆小方块的方式呈现计算的过程，让学生体会算理，理解运算法则。

对于运算教学，要使学生从数学的角度理解算理。下面是学生理解运算顺序，为什么先乘除，后加减的道理的过程。

【问题】为什么混合运算要先乘除后加减？ ^[1]

在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减。比如，用下面的两个例子来表示：

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显然，这两个基本法则是一种规定。可是，为什么要有这样的规定呢？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？为了述说这个合理性，就必须回到现实世界，因为我们已经反复说过，小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的。

第一个算式是什么意思呢？思考下面的具有实际背景的问题：操场上有. 排同学，每排有. 名女同学和. 名男同学，问操场上有多少名同学？对于这个问题，如果分步计算，显然应当先计算每排有多少同学，然后再计算. 排一共有多少同学。因此，计算的道理是：

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可以看到，上面括号中表达的是每行的同学数，它是整体算式中一个独立的部分，因此，先算括号中的算式是有道理的。可是，这个例子是具体的，因而是特殊的，这个特例所蕴含的运算次序的一般道理是什么呢？我们接下来分析第二个算式，然后归纳出一般道理。

如果把乘法理解为加法的简便运算，第二个算式可以表示为 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image010.gif。用这样的方法来解释先乘除后加减是可以的，但是，这样的解释仅仅关注了计算方法，因此，这样的解释与上面的例子就没有共同点了，就无法抽象出共性了。

为了把问题分析清楚，我们还是思考一个具有实际背景的问题：操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4 排，问现在操场上有多少名同学？

显然，这个问题中包含了两个故事：一是原来的同学数，二是后来的同学数。类似第一个算式，可以写出计算这个问题的道理：

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因此，先计算乘法是为了完成一个故事：后来的同学数。现在问题已经很清楚了：所有混合运算都是在讲述两个或者两个以上的故事。在混合运算中，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列。在原本的意义上，这些故事应当分别计算，即先计算每一个具体的故事然后再计算整体的故事。统观数学史，早期的数学都是这样计算的。如果希望用一个式子表达这样的计算，就形成了混合运算：用括号表示大故事所包含的小故事，用加号表示并列的故事。这样，为了保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致，就必须建立起前面提到的那两个基本法则。

【案例】 ^[2]

1 ．通过故事理解先乘除后加减

教师讲故事：星期天小军和小明去超市买东西。小军要买1个书包和3本笔记本，书包每个 50 元，笔记本每本2元，小军应当交多少钱？小明买了半斤李子，李子4元钱1斤，小明交了5元钱，应当找回多少钱？

对于这样的问题，教师要引导学生学会从“头”想问题。先考虑小军的问题： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image014.gif， 因为书包钱是 50 元，三本日记本钱是 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image016.gif元，因此可以列出算式：

总钱数=50+2*3=50+6=56（元）

所以，小军应当交 56 元钱。通过上面的计算，可以让学生体会到：必须先乘除后加减。

下面，我们再来帮助小明解决问题。小明买李子的钱数是 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image020.gif，找给小明的钱数应当是小明所交钱数减去小明买李子的钱：

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所以，应当找回小明56元钱。再次让学生体会到：必须先乘除后加减。

通过上面的教学活动应当让学生感悟：混合运算都是在讲两个以上的故事，而乘法或者除法都是在完成其中的一个故事。于是，教师总结：在混合运算中先乘除后加减。然后让学生口算一些习题，这些习题不限于先乘除后加减的问题，比如： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image024.gif等等，让学生通过计算加深“先乘除后加减”的印象。

2．讲述先乘除后加减的故事

老师在黑板上写出一个算式： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image026.gif，要求同学们先讲述一个表达这个算式的故事，然后再计算这个算式。教师需要在课前就想好故事，当学生回答有困难时可以启发学生思考。比如，春节期间，爷爷和奶奶都给小明 30 元压岁钱，小明花了 50 元，春节后小明还剩多少钱？或者回顾《九章算术》里的问题：一个人买了两头猪，又卖了一只羊，猪 30 钱一头、羊 50 钱一只，这个人还剩多少钱？

教学设计分析：一般来说，可以从两个方面解释混合运算中的先乘除后加减，一种解释是因为乘法是加法的简便运算： http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image028.gif，但这样的解释对于除法就牵强附会了；还有一种解释是因为混合运算是分步运算的综合。后一个解释是直观的，也是本质的，因此在小学阶段的数学教学中最好采用后一种解释。引导学生学会从“头”想问题是教学的关键，因为其中蕴含了分步计算的思想。最后，让学生自己构建混合运算的故事背景也是重要的，是一种有益的尝试，这不仅有利于学生加深对所学问题的理解，也有利于培养学生的想象力。

3．运算律的运用：认识交换律与结合律的重要性，能够理解与运用。在进行运算时经常用到交换律和结合律，如计算 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image030.gif， 使列竖式计算变得简便。会用到中括号、小括号，特别是解方程时用到。

4．正确进行运算的能力：正确运算是重点，教学中应该注意重点是准确，不是速度。不同学生发展水平不同，对数量的感知能力也不同，在实际的教学中应根据实际情况对学生提出恰当的要求。计算不是越快越好、越多越好，而是把握一个度。

二、运算能力在数学学习中的价值

1．运算能力是重要的基本技能，是“四基”（基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验）的重要组成部分。运算能力贯穿于整个小学数学学习过程，所以对运算能力的培养是小学数学教学中必不可少的环节。

2．在教学中运算能力的培养包含很广泛，比如精算、估算与估计的区别与选择。

在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算，因此应当让学生知道估算。此外，精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，是对精算或者估算过程中的近似计算，因此，学习估算对于培养学生的数感是有好处的。法国脑科学家研究了人们在进行精算和估算时大脑的反射部位，研究结果表明：精算主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠；估算主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切。因此，就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分：精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，小学数学的教学内容不仅要有精算也要有估算。同时，根据上面所说的道理还可以推断：估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入。此外，估算也不是估计，估算也是需要算的。据此，我们可以得到一个基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否则就失去了估算的教育意义。 ^[3]

3．运算能力是解决问题和学习其他数学内容学习的基础。

4．运算能力也是一种数学思考。我们要在精算和估算学习中培养学生的数学思维。

三、教学中体现运算能力的案例分析

【案例】 ^[4] 于萍老师教学《小数加减法》一课。

在这节课中，于老师就是借助学生已有的认知基础和生活经验，帮助学生理解小数加减法的算理。当时，于老师让学生自主进行编题，其中就有一名学生编出了一道 http://educourse.teacher.com.cn/tkb119a/col/4/image032.gif，这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节课的重点所在，也是小数加减法总结算法的重要时机。但为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程，于老师让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。我们来看师生间的对话，细细品味：

师：你们以前做过很多很多加减法题，无一例外的都是把末位的两个数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？

生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。

师：你们虽然没把末位对齐，但把谁对齐了？

生：把小数点对齐，也就是相同数位对齐。

师：你看得很深、很准，这样做肯定有这样做的道理。可为什么一定要小数点对齐、要相同数位对齐呢？

生1：如果不对齐算出来就错了。

生2：如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的. 就和百分位的. 对齐了，相加之后肯定就不对了。

生3：我举个例子说吧，比如买两样东西，一个是 0.8 元，另一个 3.74 元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不对了。

师：我们研究同一个问题时可以从不同角度研究，可以讲道理也可以举例子。刚才这道题，就有同学想到了用我们都熟悉的“元角分”举例子来解释，简单的事说明了深奥的道理，你真棒！看来只有相同计数单位的个数才能够相加减。

小结：原来看似和整数加减法不太一样的“小数点对齐”其实和“末位对齐”一样，都是为了确保“相同数位对齐”，而相同数位对齐背后的道理就是“相同计数单位的个数直接相加减”。你们不仅找到了方法，还理解了方法背后的数学道理，真了不起！

评析：教师理解把握运算教学的本质与重点；帮助学生理解算理，小数点对齐与末位对齐的关系突出了本质是要相同数位对齐，算理在于相同单位的数可以相加。采用有效的方法使学生理解与把握。无论在整数加减、小数加减、分数加减都有这样的问题，解决的都是个位和个位相加减，十位和十位相加减。无论是小数加减要求小数点对齐，还是分数加减要求同分母的相加减，这与整数加减的本质都是相同数位对齐，相同单位相加减。

【案例】理解把握学生出现的错误—— 数学教师的 PCK

题目：一位学生计算 26. 53 时，其竖式如下：

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你怎样向学生解释他的错误？把你向学生解释的语言写在下面。

从案例中可以看出老师应该了解学生在学习中可能出现的错误，能够分析学生出现错误的原因并能给学生恰当的指导。