1.4 测量误差分析

1.4.1 测量误差分类

按照误差的表示形式，可分为绝对误差、相对误差和引用误差；按照误差的特点和性质，又可分为系统误差、随机误差和粗大误差。

    1.按表示形式分类

    (1) 绝对误差

    绝对误差的定义为

    绝对误差＝测得值-真值                        (1-1)

    在实际工作中，经常使用修正值。为消除系统误差，用代数法加到测量结果中的值称为修正值。将测得值加上修正值之后可以得到近似的真值，即

    修正值＝真值-测得值                         (1-2)

    由此可得

    真值≈测得值+修正值                         (1-3)

    修正值与误差值的大小相等而符号相反。测得值加修正值后可在一定程度上消除该误差的影响，这就是误差修正的基本原理。但值得注意的是，由于在大多数情况下难以得到真值，修正值本身也存在着误差，因此修正后只能得到较测得值更为准确的结果。

    (2) 相对误差

相对误差定义为绝对误差与被测量的真值之比，即

                        (1-4)

    相对误差只有大小和符号且量纲为一，一般用百分数来表示。此外，相对误差常用来衡量测量的相对准确程度，相对误差越小，测量精确度越高。

    (3) 引用误差

对于有一定测量范围的测量仪器或仪表，以上所提到的绝对误差和相对误差都会随测量点的改变而改变，因此往往还采用其测量范围内的最大误差来表示该仪器仪表的误差，这就是引用误差的概念。引用误差定义为在一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比，即

                        (1-5)

    根据国家标准GB776—76《测量指示仪表通用技术条件》规定，我国电工仪表的精确度等级就是按照引用误差进行分级的。一般分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级，分别表示它们的引用误差不超过的百分数。

    例1-1  某1.0级电流表，满度值为100，求测量值分别为100，80和20时可能出现的最大绝对误差和相对误差。

    根据题意得，，（对应了三次测量值），且考虑到绝对误差不随测量值而变，均为

则最大相对误差分别为

    可见，在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。

    例1-2检定一只2.5级、量程上限为100 V的电压表，发现在50 V处误差最大，其值为2 V，而其他刻度处的误差均小于2 V，问这只电压表是否合格？

首先求得电压表的引用误差为

由于2％<2.5％，所以电压表合格。

    2．按性质分类

    (1)系统误差

    系统误差指在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。其定义为在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

    系统误差按照掌握程度分为已定系统误差和未定系统误差；按照变化规律可分为恒定系统误差和变值系统误差，其中变值系统误差又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

    已定系统误差是误差的绝对值和符号已经确定的系统误差。

    未定系统误差是误差的绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可以估计出误差范围。

    恒定系统误差是误差的绝对值和符号固定不变的系统误差。如砝码标准量值的误差、某些仪器的调整偏差所引人的误差都属于恒定系统误差。

    变值系统误差是误差的绝对值和符号变化的系统误差。

    线性系统误差是误差的数值随某些测量系统的变化而逐渐增加或逐渐减小的系统误差。

周期性系统误差是误差的数值随某些测量条件发生周期性变化的系统误差。如表盘安装偏心引起的误差，在一周示值上呈正弦规律变化，即表现为周期性系统误差。

    复杂规律系统误差指变化规律很复杂的系统误差，但多次测量时其变化具有一定的规律性。

    系统误差表现出的规律性，可根据其产生原因，通过采取一定的技术措施予以减小或消除，例如对测量值进行必要的修正可以在一定程度上减小系统误差的影响。

    (2)随机误差

    随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。

    产生随机误差的原因很多，最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，难以预测和控制。

    从统计的角度来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。但是，如果进行大量的重复实验，就可能发现它在一定程度上所遵循的某种统计规律。这样就可以运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。

    (3)粗大误差

    明显超出规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称过失误差。这种误差较大，明显歪曲测量的结果，因此要按照一定的判决准则予以剔除。产生粗大误差的原因可能是某些突发性的因素或疏忽、测量方法不当、操作程序失误、读错读数或单位、记录或计算错误等。

值得注意的是，系统误差和随机误差之间并不存在绝对的界线。在生产实践中，由于测量是在某种环境中进行的，在一定条件下系统误差和随机误差间可发生变化甚至相互转化。随着对误差性质认识的深化和测量技术的进步，有可能运用误差分离的技术，把随机误差的某些部分予以分离后实施修正，或者把系统误差当做随机误差来分析，通过概率统计的方法进行处理。

1.4.2 随机误差

  本节内容为随机误差的基本概念，通过对随机误差产生原因、特点及处理方法的介绍，了解随机误差的分布特征，并掌握算术平均值、测量标准差和极限误差等的计算方法。

1.4.2.1 随机误差的基本概念

    1.随机误差的定义

    随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。

    2.随机误差产生的原因

    随机误差是由许多不能掌握、不能控制、不能调节、更不能消除的微小因素所构成。虽然产生随机误差的原因很多，但主要可分为以下三个方面：

    ① 测量装置方面的因素。由于所使用的测量仪器在结构上不完善或零部件制造不精密，因而给测量结果带来随机误差。例如，由于轴与轴承之间存在间隙，因而润滑油在一定条件下所形成的油膜不均匀的现象会给圆周分度测量带来随机误差。

    ② 测量环境方面的因素。最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。

    ③ 测量人员方面的因素。操作人员对测量装置的调整、操作不当，如瞄准、读数不稳定等。

    这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，都难以预测和控制。

    3.随机误差的特点

从统计意义来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。但是如果进行大量的重复实验，就能发现它在一定程度上遵循某种统计规律。这样，就有可能运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。常见的随机误差分布特征有很多种。若以正态分布为例，则随机误差的出现服从以下规律：

    ①单峰性  测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真值相差很大，其可能性较小。

    ②对称性  测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。

    ③有界性  在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。

    ④抵偿性  随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。

正态分布的概率密度函数如图2-1所示。其表达式为

                     (1-6)

式中：y——正态分布概率密度函数；

      x——被测量的测量值；

     ——被测量的真值；

     ——标准差。

从图2-1可以看出，越大，则测量的数据越分散。

图2-l正态分布曲线

    4.减小随机误差的技术途径

    ①测量前，找出并消除或减少产生随机误差的物理源。

    ②测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差。

    ③测量后，对采集的数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。如数据处理中常用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波方法来有效消除低频随机噪声等。

1.4.3 算术平均值与标准误差

1.4.3.1 算术平均值

    基于随机误差的上述特性，通过多次测量求平均值的方法，可以使随机误差相互抵消。算术平均值与真值较为接近，一般作为最后测量结果。

    在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，测量值代数和除以测量次数而得到的值称为算术平均值。其表达式为

                                                  (1-7)

式中：n——测量次数；

    (i＝1，2，…，n)——n个测量结果。

    因为算术平均值与被测量的真值最为接近，若测量次数无限增加，则必然趋近于真值，因此将其作为测量结果的最佳估计。

根据误差定义有

                                 (1-8)

式中：——某次测量的误差；

     ——某次测量的测量值；

     ——被测量的真值。

  式(1-8)还可写成

               (1-9)

式中：E(X)——测量结果的期望(又称为数学期望)。

    测量误差由两个分量组成：为测量结果与期望的偏差，一般称为随机误差。其特点是：当测量次数趋于无限大时，随机误差的期望趋于零；为期望与真值的偏差，通常称为系统误差。

    式(1-9)可以揭示以下结论：

    ①重复条件下对同一被测量进行无限次测量，测量结果的平均值就是数字期望；

    ②随机误差等于误差减系统误差；

    ③因为测量次数不可能做到无限次，因此只能确定随机误差的估计值。

    总之，随机误差是测量误差中数学期望为零的误差分量，而系统误差则是测量误差中数学期望不为零的误差分量。

1.4.3.2 测量的标准差

    标准差作为随机误差的代表，是随机误差绝对值的统计均值。在国家计量技术规范中，标准差的正式名称是标准偏差，简称标准差，用符号表示。当对一个参数进行有限次测量时，应将其视为对测量总体取样而求得的标准差估计值，用s表示，以区别于总体标准差。为便于教学描述，本书对标准差估计值仍用表示，但读者应对两者的区别有所了解。

    1.单次测量的标准差

    测量列中单次测量值(任一测量值)的标准差定义为

                     (1-9)

式中：为第i次测量的真差。

    由于真差未知，所以不能直接按照定义求得值，故实际测量时常用残余误差代替真差，按照贝塞尔(Bessel)公式求得的估计值为

                          (1-10)

 2.算术平均值标准偏差

如果在相同条件下对同一量值进行多组重复的系列测量，则每一系列测量都有一个算术平均值。由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。其值按下式计算：

                            (1-11)

可见，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，当测量次数n增加时，算术平均值将更加接近真值。但从式(2-7)可得，测量精度与测量次数的平方根成反比，若想显著增加精度，必须付出更多的劳动。而统计结果表明，当n>10后，精度的提高已非常缓慢，且次数的增加也难以保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此通常情况下取n≤10较为适宜。

1.4.4 测量不确定度

    随着生产发展和科学技术的进步，对测量数据的准确性和可靠性提出了更高要求。一个完整的测量结果，应当包含被测量值的估计及表征其分散性的参数两个部分。分散性参数即为测量不确定度，它包括所有的不确定度分量，即除不可避免的随机影响对测量结果的贡献外，还包括由系统效应引起的分量，如一些与修正值和参考测量标准有关的分量等，均对分散性有所贡献。

    测量不确定度用来表示测量结果的质量高低，不确定度愈小，测量结果的质量愈高，则使用价值愈大；反之，不确定度愈大，测量结果的质量愈低，使用价值愈小。因此，首先要正确理解测量不确定度的基本概念，正确掌握测量不确度的表示与评定方法，以适应现代测试技术发展的需要。

1.4.4.1 基本概念

    测量不确定度是测量结果含有的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。

    为了更好地理解测量不确定度的概念，下面介绍几个相关的术语。

    1.标准不确定度

    以标准差形式表示的测量结果的不确定度，用符号u来表示。对于不确定度的各个分量，通常加下标表示，如u1,u2,…,u等。

    2.不确定度的A类评定

    A类评定方法指用统计分析的方法，对样本观测值的不确定度进行评定。不确定度的A类评定有时又称为A类不确定度评定。

    3.不确定度的B类评定：

    用不同于统计分析的其他方法，对不确定度进行评定。不确定度的B类评定，有时又称为B类不确定度评定。

    4.合成标准不确定度

    当测量结果是由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差或协方差加权之和的正平方根。其中，权的系数由测量结果随着这些量变化的情况而定。合成标准不确定度用符号表示。

    5.扩展不确定度

规定为测量结果取值区间的半宽度。该区间包含合理地赋予被测量值分布的大部分。扩展不确定度用符号U或UP来表示。扩展不确定度有时也称为展伸不确定度或范围不确定度。

    6.包含因子

    为获得扩展不确定度，对合成不确定度所乘的倍数称为包含因子。包含因子用符号k或kp表示。包含因子有时也称覆盖因子，其取值一般为2～3。

    7.自由度

    计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束数的项数。自由度用符号表示。由于标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。因此，自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量。合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用符号表示。

    8.置信概率

    与置信区间或统计包含区间有关的概率值。当测量值服从某一分布时，落于某区间的概率P即为置信概率。置信概率是介于(0，1)之间的数，常用百分数来表示。

    在不确定度评定中，置信概率也称置信水准或包含概率。

    9.测量不确定度与误差的关系

    测量不确定度和误差是误差理论中两个重要概念，它们具有相同点，都是评价测量结果质量高低的重要指标，但是它们之间也有明显的差别，应当注意区分。

    从定义上讲，误差是测量结果与真值之差，以真值或约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。因此，误差是理想概念，难以准确定量；而不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，可以定量评定。

    从分类上，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差，但由于各误差间并不存在绝对界限，因此在分类判别和误差计算时不易准确掌握。而测量不确定度不按性质分类，只是按评定方法分为A类和B类评定，两类评定方法不分优劣，按实际情况的可能性加以选用，便于评定计算。

不确定度与误差间是有很大联系的。误差是不确定度的基础，确定不确定度首先要研究误差的性质、规律，只有这样才能更好地估计不确定度分量。但不确定度内容不能包罗，更不能取代误差理论的所有内容。客观地说，不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论的内容之一，但仍需进一步完善和发展。

1.4.5 测量结果的正确表示

    测量结果的评价和处理开展误差分析工作的前提，只有通过对测量数据的正确处理，并正确地评价测量结果，才能够进一步开展误差的分析工作。

1.4.5.1 测量结果的评价

    测量结果的好坏通常用测量精度或测量结果的不确定度来评价，本节只介绍精度的几个概念，测量结果的不确定度在以后的章节中介绍。

 1.精密度

    测量的精密度指在相同条件下，对被测量进行多次反复测量，测得值间的一致(符合)程度。从测量误差的角度来说，精密度所反映的是测得值随机误差的影响程度。精密度高不一定准确度高。也就是说，测得值的随机误差小，不一定其系统误差亦小。

    2.准确度

    测量的准确度指被测量的测得值与其“真值”的接近程度。从测量误差的角度来说，准确度所反映的是测得值系统误差的影响程度。准确度高不一定精密度高。也就是说，测得值的系统误差小，不一定其随机误差亦小。

    3.精确度

    测量的精确度指测量的测得值之间的一致程度及其与“真值”的接近程度，即精密度和准确度的综合概念。从测量误差的角度来说，精确度是测得值的随机误差和系统误差的综合反映。通常所说的测量精度或计量器具的精度，即指精确度，而非精密度。也就是说，实际上“精度”已成为“精确度”习惯上的简称。

    图1-1以打靶时弹着点为例，说明上述三个词的意义。用靶心表示真值位置，黑点为每次测得值的位置。其中：图(a)表示射击的精密度高，但准确度较差，即系统误差较大；图(b)表示准确度高，但精密度较差，即随机误差较大；图(c)表示精密度和准确度都比较好，称为精确度高，这时随机误差和系统误差都比较小。

图1-1 准确度、精密度和精确度的示意图

1.4.5.2 测量结果的处理方法

    在不同的应用条件下，测量结果处理方法的目的与任务是不同的，下面就按照两种通用情况分别进行介绍。

    1.参数测量结果的数据处理

    这种情况下，数据处理的目的是求出未知参数的数值及评定这一数值所含有的误差。而针对不同的测量类型，数据处理的方法也有不同。例如，对于直接测量的数学处理方法，在古典误差理论中，是利用偶然误差正态分布曲线(高斯曲线)引出一系列公式，计算未知参量的最可信赖值及其误差；而对于间接测量，数学处理的任务则是根据已知函数关系求出未知参数，并根据各个部分的误差(误差分量)求出间接测量的误差；测量结果中既有系统误差，又有随机误差时，还需要利用误差合成的相关理论求出综合误差指标等。

    2.测试系统标定实验的数据处理

    对传感器或测试系统进行静、动态标定实验时，数据处理的目的是建立测试系统的数学模型，然后计算其性能指标，最后检查所建立的数学模型与实验结果的差别。

    从实验结果建立数学模型的过程实质就是回归的过程，回归完毕计算其性能指标。对静态标定，应给出静态数学模型与静态性能指标；而对动态标定，则应给出动态数学模型与动态性能指标；此外，还要检查回归效果与误差补偿的问题。这些就是静、动态标定实验数据处理的几个基本任务。

    对于静态数学模型，常见的简单模型有：直线方程、一般线性模型、多项式模型以及各种指数和对数非线性模型等。而对动态参数模型，则有两大类：非参数模型和参数模型。由于动态测量可以从时域和频域进行分析，所以相应的动态数学模型也有时域和频域的不同表达形式，如在频域内，频率响应就是非参数模型；而在时域内，单位脉冲响应、单位阶跃响应则是非参数模型。时域内的参数模型有：微分方程、传递函数和状态方程等。

    建立数学模型的常见数学方法是分析法，就是利用各个学科领域提出的物质和能量的守恒性和连续性原理及系统的结构尺寸等，推演出描述系统的数学模型(如：偏微分方程和常微分方程等)。这种方法只能用于建立简单系统的数学模型，而对于复杂的测试系统，用分析法建立数学模型太复杂，有时甚至是不可能的，因此分析法的适用范围受到很大限制。于是，利用测试数据建立数学模型的理论和方法逐渐受到人们的重视，这种方法称为系统辨识，也是本书着重介绍的方法。后面的章节将会详细介绍模型建立的原理及建立过程中出现的问题与解决方法。

在数据处理工作中，分析误差的目的是减小误差，提高精度；而对于测试系统的标定，误差补偿就更为重要，它是有效提高系统性能的途径之一。

1.4.6 粗差的判别

本节对粗大误差的基本概念，特别是粗大误差的判别准则进行分析和介绍，从而有助于剔除粗大误差，提高测量的精度。

1.4.6.1 基本概念

    粗大误差是明显超出规定条件下预期的误差，也称为疏忽误差或粗差。引起粗大误差的原因有：错误读取示值，使用有缺陷的测量器具，测量仪器受外界振动和电磁等干扰而发生的指示突跳等都属于粗大误差。由于测量者在测量或计算时的粗心大意所造成的数值很大的误差，叫做粗大误差。是否存在粗大误差是衡量该测量结果合格与否的标志。含有粗大误差的测量值是不能用的，因为它会明显地歪曲测量结果，从而导致错误的结论，故这种测量值也称为异常值(坏值)。所以，在进行误差分析时，要采用不包含粗大误差的测量结果，即所有的异常值都应当剔除，因此，计量工作人员必须以严格的科学态度，严肃认真地对待测量工作，杜绝粗大误差的产生。

1.4.6.2 粗大误差的判断准则

    在一列重复测量所得数据中，经修正系统误差后如有个别数据与其他数据有明显差异，则这些数值很可能含有粗大误差，称其为可疑数据，记为xd。根据随机误差理论，粗大误差出现的概率虽小但不为零，因此必须找出这些异常值，给以剔除。然而，在判别某个测得值是否含有粗大误差时要特别慎重，需要作充分的分析研究，并根据选择的判别准则予以确定，因此要对数据按相应的方法作预处理。

预处理并判别粗大误差有多种方法和准则，有准则、罗曼诺夫斯基准则、狄克松准则和格罗布斯准则等。其中，准则是常用的统计判断准则，罗曼诺夫斯基准则适用于数据较少场合。

1.4.6.3 粗大误差的消除

    1.合理选用判别准则

    在上面介绍的准则中，准则适用于测量次数较多的情况。一般情况下测量次数都比较少，因此用此方法判别，可靠性不高，但由于它使用简便，又不需要查表，故在要求不高时经常使用。对测量次数较少，而要求又较高的数列，应采用罗曼诺夫斯基准则。

    2.采用逐步剔除方法

    按前面介绍判别准则，若判别出测量数列中有两个以上测量值含有粗大误差时，只能首先剔除含有最大误差的测量值，然后重新计算测量数列的算术平均值及其标准差，再对剩余的测量值进行判别，依此程序逐步剔除，直至所有测量值都不再含有粗大误差时为止。

    在实际测量过程中，为保证尽量预防和避免粗大误差，测量者应做到：

    ①加强测量者的工作责任心，以严格的科学态度对待测量工作；

    ②保证测量条件的稳定，应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量；

    ③根据粗大误差的判别准则剔除粗大误差。

1.4.7 系统误差产生的原因及消除方法

    通过对系统误差产生原因、特点和分类方法的介绍，更深入地了解系统误差的处理原则和系统误差的发现方法，以便减小和消除定值系统误差和变值系统误差。

1.4.7.1 系统误差的基本概念

在相同条件下对同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量。误差分量叫做系统误差。

    按其本质被定义为：对同一被测量进行大量重复测量所得结果的平均值，与被测量真值之差。它的大小表示测量结果对真值的偏离程度，反映测量的准确度，对测量仪器而言可称为偏移误差。如量块检定后的实际偏差，在按“级”使用此量块的测量过程中，它便是定值系统误差。

    这种误差可以通过实验或分析的方法，查明其变化的规律及其产生的原因，并在确定其数值后，可以在测量结果中予以修正，或在新的一次测量前，采取措施改善测量条件或改进测量方法，从而使之减小或排除，但是不能依靠增加测量次数的方法而使系统误差减小或消除。系统误差的存在决定了测量的“准确”程度，因为它的存在歪曲了测量结果的真实面目。

1.4.7.2 系统误差的来源与分类

 1.系统误差的来源

    (1) 工具误差

    工具误差是由所使用的测量工具结构上不完善、零部件制造时的缺陷与偏差等因素造成的。例如，尺子刻度偏大、微分螺丝钉的死程、温度计刻度的不均匀、天平两臂长的不等以及刻度盘的偏心等。

    (2) 调整误差

    调整误差是由测量前未能将仪器或待测件安装到正确位置(或状态)造成的。例如，使用未经校准零位的千分尺测量零件，使用零点调不准的电器仪表做检测工作等。

    (3) 习惯误差

    习惯误差是由测量者习惯造成的。例如，用肉眼在刻度上估读时习惯偏向一个方向；某些人在进行动态测量记录某一信号时有滞后的倾向，或者凭听觉鉴别时在时间判断上提前或滞后等。

    (4) 条件误差

    条件误差是由测量过程中条件的改变造成的。例如，测量工作开始与结束时的一些条件按一定规律发生变化(如温度、气压、湿度、气流和振动等)后带来的系统误差。

    (5) 方法误差

    方法误差是由于所采用的测量方法或数学处理方法不完善而产生的。例如，在长度测量中采用不符合“阿贝原则’’的测量方法，或在计算时采用近似计算方法，以及测量条件或测量方法不能满足理论公式所要求的条件等引起的误差。

    2.系统误差的分类

    根据系统误差产生的原因可以确信它不具有抵偿性，是固定的或服从一定的规律。可以将系统误差分为恒定系统误差和可变系统误差两大类。

    (1) 恒定系统误差

在整个测量过程中，误差的符号和大小都固定不变的系统误差称为恒定系统误差，也称为不变系统误差。例如，某尺子的公称尺寸为100mm，实际尺寸为100.001 mm，误差为－0.001mm，若按公称尺寸使用，始终会存在－0.001 mm的系统误差。

    (2) 可变系统误差

    在整个测量过程中，误差的符号和大小都可能变化的系统误差称为可变系统误差。它又可分为以下三类：

    ① 线性变化的系统误差。在测量过程中，误差值随某些因素作线性变化的系统误差，叫做线性变化的系统误差。例如，刻度值为1 mm的标准刻度尺，由于存在刻画误差△l，每一刻度间距实际为(1 mm+△l)，若用它测量某一物体，得到的值为k，则被测长度的实际值为L=(1 mm+△l)，这样就产生了随测量值k的大小而变化的线性系统误差－k△l。

    ② 周期性变化的系统误差。测量值随某些因素按周期性变化的系统误差，称为周期性变化的系统误差。例如，仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心值e时，则指针在任一转角下由于偏心引起的读数误差即为周期性系统误差。

    ③ 复杂规律变化的系统误差。在整个测量过程中，若系统误差是按确定的且复杂规律变化的，叫做复杂规律变化的系统误差。例如，微安表的指针偏转角与偏转力矩不能严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差等。

1.4.7.3 系统误差的减小和消除

    提高测量精度的首要问题是发现系统误差。然而，在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，因此，目前对发现各种系统误差还没有普遍适用的方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进行全面仔细的分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误差。恒定系统误差对每一测量值的影响均为相同常量，对误差分布范围的大小没有影响，但使算术平均值产生偏移。通过对测量数据的观察分析，或用更高精度的测量鉴别，可较容易地把这一误差分量分离出来并修正。可变系统误差的大小和方向随测试时刻或测量值的大小等因素按确定的函数规律而变化。如果确切掌握了其规律性，则可以在测量结果中加以修正。

    1.发现某些系统误差的常用方法

    (1) 实验对比法

    实验对比法主要用于发现固定系统误差。其基本思想是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量。如量块按公称尺寸使用时，测量结果中就存在由量块尺寸偏差而产生的不变的系统误差，多次重复测量也不能发现这个误差，只有用高一级精度的量块进行对比时才能发现。

    (2) 理论分析法

理论分析法主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件是否满足，实验所依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果这些要求没有满足，则实验必有系统误差。

    (3) 数据分析法

    数据分析法主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、t检验法及秩和检验法等。

2.消除和减小系统误差的方法

    在实际测量中，如果判断出有系统误差存在，就必须进一步分析可能产生系统误差的因素，设法减小和消除系统误差。由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差，而必须针对系统误差产生的原因采取相应的措施。

    (1) 从产生系统误差的根源上消除

    从产生系统误差的根源上消除误差是最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行认真仔细的分析，发现产生系统误差的各种因素。可以从下面几个方面采取措施：采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。

    (2) 引入修正项消除系统误差

    通过预先对仪器设备将要产生的系统误差进行分析计算，找出误差规律，从而找出修正公式或修正值，对测量结果进行修正。

    (3) 采用能消除系统误差的方法进行测量

    对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用以下方法：

    ① 替代法  在测量过程中将被测量以等值的标准量进行替代。

    ② 正负误差补偿法  通过改变实验中的某一条件，使恒定系统误差一次为正，一次为负，取两次之和的1/2为读数，它与系统误差无关。

    ③ 换位抵消法  通过适当地安排测量，使产生恒定系统误差的因素以相反的方向影响结果，从而抵消其影响。

    此外，对称测量法、半周期偶数次测量法等也是比较有效的方法。采用什么方法要根据具体的实验情况及实验者的经验来决定。

    无论采用哪种方法都不可能完全将系统误差消除，只要将系统误差减小到测量误差要求允许的范围内，或者系统误差对测量结果的影响小到可以忽略不计，就可以认为系统误差已被消除。