探索自由天空(LKX0570)博客，第十一部分：神奇的相对圆——探索教学王国的统一

7、三维空间（曲面）的统一描述（下）

（二）三维空间的三项式（曲面）

命题（四）：

有熟知：（a+b+c）²  = （a² + b² + c²） + 2(ab+bc+ca)

采用（abc）^-1·（abc）⁺¹及（1/3）^-1·（1/3）⁺¹的技巧处理，

设：R =（1/3）（a+b+c）；η = (R-a) / R = (R-b) / R = (R-c) / R   

 η²=η_a ² +η_b ² +η_c² （空间矢量、或六面体表面）

有：2（ab+bc+ca）=2（ab/abc+bc/abc+ca/abc）·abc

= 6 {[（1/3）^-1（a^-1+b^-1+C^-1）]^-1

/[（1/3）⁺¹（a⁺¹+b⁺¹ +c⁺¹）]⁺¹} [abc/R]

= 6 (1-η²) R²；

得：（3R）²－3R²  =（9R²－3R²）= 6R² ；（η= 0，1）；

取：公式两边乘（π’）。注意：多面体（π’）不等于旋转体（π）：

“一个9π’R圆球（多面体球）表面积”减去“3个（R）小圆周表面积（3π’R ²）”=  6个（R）双曲圆球周表面积（6π’R ²）

也就是说：一个（π’R）小曲面圆周表面积等于二个（π’R）尺寸双曲圆球周表面积

其中：π’（a+b+c）²  = 圆球（多面体球）表面积 ≠ 8πR²（圆球表面积），

当：9π’R² = 8πR² 时；即9π’R² = 8π；

π’ =（1-η²）π =（1-（1/9）²）π’ =（8/9）π；

式中：n =（1/3）（3为空间维数），反映了维数（n）增多时（1-η²）→1，即（π’）→（π）；

综上所述，圆球体积（三次方函数）、圆球表面积（二次方函数）及双曲圆体积（三次方函数）、表面积（二次方函数）都建立了一致的（1-η²）^z相对性关系。表示了一维、二维、三维基本空间有统一的相对性结构。也就是说：空间三维（即幂次（±s）=±1,±2,±3）内的非线性变化转化为线性变化。这样“中心圆球（圆函数）”与“双曲圆球（双曲函数）”可以进行等效置换及一致的关系。有：统一式：

    W =（1-η²）^z W₀ ；   （z = ck，k =-1,0,+1）；

式中：W，W₀可分别为函数f（R^s）（后验值），f（R₀^s）（后验值）分别表示体积（V₁、V₀），曲面面积（S、S₀），平面面积（S、S₀），曲线（S、S₀）、直线（l、l₀）；还可引入复合空间V₀  =（V_s（主体三维空间）＋V_ks（复合体三维空间）），则以四维（V_s+ V_ks¹）、五维（V_s+ V_ks²）、六维（V_s+ V_ks³）…（V_s+ ∑V_ks^（N/3））球体空间形式描述，它们都可以同时包容了高维贯穿球体的空间。这样可以以相对圆的概念，把“中心圆（函数）”与“贯穿圆（函数）”组一个统一体。

（图2）表示了《易径》八卦图中，球体为半圆平面沿X轴旋转2π角度，也可以沿Y轴旋转2π角度，（X，Y）旋转轴构成建立了（B-R）理论基础，（Y）旋转轴成为弦理论的基础。表明它俩计算趋向不同系同根同祖，有其相同的“双曲线f(xy) （双曲函数）——即除去圆球（圆函数）——成为“中心球体的组合”；或f(xy) （双曲函数）——即除去圆环的剩余空间 ——成为“贯穿球体的组合”。

而这两个空间都是“黎曼函数——欧拉公式” f^s(xy) = ∑r^-s为基础的描述。有：

ξ（z）= ∑（1/r^s） = ∏（1+P^s）^-1 =（1-η²）ξ（z₀）

有了三维空间或“（圆函数）——（双曲函数）”的统一描述作为标准的相对圆（圆函数），以此作为比照基础，其中为值（算术）、圆（几何）、圆函数（代数）、拓扑（相对性起、终点）等处理高维多层次任意函数（空间、流形）创造了神奇非凡的效果。（2012.3.08.）