探索自由天空(LKX0570)博客，第十一部分：神奇的相对圆——探索教学王国的统一

6、三维空间（球体）的统一描述（上）

我们重新以16～17世纪的数学结构基础为新起点，开始建立（B-R）理论的欢快之旅。从中解释、证明一些未解、难解的数学之题，同时还要归纳、整理、审视现有已解的数学之题，试图实现数学王国的统一。这个目标使我们获得进步原动力、攻关的激情。突破点选在哪里？首先选择实现三维空间的统一。可是，三维空间有两种形式：球体与球面，目前还没有统一的、完整地描述，我们就从这里开始突破吧！

（一）、三维空间的两项式（球体）

命题（一）：

有熟知：（a+b）³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

取：（a+b）³ －（a³+b³）= 3 a²b + 3ab²

公式右边：以（ab）²·（ab）^-2及（1/2）·^-1（1/2）⁺¹技巧处理，

有：（3 a²b + 3ab²）/（ab）²  = 3（1/a+1/b）·（ab）²

设：  R =（1/2）(a+b)； a = (1-η)R；  b=（1+η）R；

︱η︱ =  (a-b)/(a+b)  = (R-a)/R  = (b- R)/ R；

有：ab  = (1-η) ·（1+η）R R = (1-η²)R^2；

或：[（1/a+1/b）] = [(a+b) / ab] = [ab / a+b ]^-1

= [(1-η)（1+η）/2R ] ^-1= [（1/2）(1-η²)^kR] ^-1 = 2 (1-η²)^kR^-1

或：[（1/2）^-1（a^-1+b^-1）]^-1/[（1/2）⁺¹（a⁺¹+b⁺¹）]⁺¹ = 2 (1-η²)^kR^-1

得：W =（a+b）³－ (a³+b³) = 3(a²b+ab²)

= 3(a^-1+b^-1)·(ab)²

= 3 [2 (1-η²) ^kR^-1]· (R)⁴

= 6 (1-η²)^k R³

= (1-η²)^k （Ω₃R³）

= (1-η²)^k （W₀）；    η=(0～1)；

W₀  =（Ω₃R³）；（Ω₃ = 6）；

比较：[（1/2）（a^-1+b^-1）] ^-1与[（1/2）⁺¹（a⁺¹+b⁺¹）] ⁺¹的大小关系：

有：“＜”时，K=+1；“＞”时，K=-1 ； “=” 时，k=0；

命题（二）：

有熟知：（a+b）²= a² + 2ab + b²

取：（a+b）²－（a²+b²）= 2 ab

设：  R =（1/2）（a+b）；a = (1-η) R ； b = (1+η) R ；

取公式右边：以（a＋b）^－1·（a＋b）^＋1及（1/2）^-1·（1/2）⁺¹处理

得： W =（a+b）²－ (a² + b²)

= 2 (ab)

  = [(1-η)（1+η）R² ]

= 2 (1-η²)^k R²

或：（为后续证明统一格式写法：）

 2 (ab) = 2 [ (ab) /（a+b）]·（a+b）·(ab)

=2 [ (a+b) /（ab）] ^-1·（a+b）^-1·(ab)

= 2 [（1/2）^-1(a^-1+b^-1) ]^-1/ [（1/2）⁺¹（a+b）⁺¹] ⁺¹

·[（1/2）⁺¹（a+b）⁺¹] ⁺¹·（1/2）（a+b）^-1·(ab)

= 2 [ (1-η²) ^k R ] (ab)/R

= 2 (1-η²)^k R²

= (1-η²)^k（Ω₂R²）

= (1-η²)^k W₀ ；    η= (0～1)；

W₀  =（Ω₂ R²）； （Ω₂= 2）；

显见，一维、二维、三维的双曲线（双曲函数）与圆曲线（圆函数）特性有着统一的结构形式，仅仅存在（Ω_j= 1,2,6）有着与维次同步的系数。

命题（三）：

若：产生旋转，等式两边乘以“π”，

设：a+b = 2r = R，a = b = r =（1/2）R ；有：

（ⅰ）、以X轴为旋轴，成为一个（R）为半径的大圆球体及（r）为半径的小圆球（三维二项式），其中大圆球体（R）包含着相当于8个（r）为半径的小圆球（系数：1,3,3,1），即：

（2r）³ =“2个圆球＋6个双曲圆球”；

其中：2个小圆球（r³）＋6个双曲圆球（6 r³）（a=b=r），（不计等式的两边相同的常数（4/3））。也就是说，一个（r³）小圆球等于三个（r³）双曲圆球。由此建立了双曲圆球（或小圆球）的体积计算公式：

π（a+b）³ －π（a³+ b³）= 6π(1-η²) r³ ； （a=b=r）；

（ⅱ）、以Y轴为旋轴，成为一个（R）为半径的圆球，包含着一个类似“甜甜圈”的（πr ²×（2π（R－r））为半径的圆环。猜测现在的弦理论或许巧合地也从这里开始建立。（2012.3.05）