【基础知识精讲】

　　 （一） 教学知识点：

　　知识与技能： 1、集合的概念、表示方法；

　　 2、有关数的集合；

　　 3、元素的性质；

　　 4、培养学生的抽象思维能力和理解掌握概念的能力；

　　情感、态度、价值观：1、培养学生认识新知识新事物的能力；

　　 2、引导学生爱班、爱校、爱国．

　　教学重点： 集合的概念、表示方法，元素的三个特征；

　　教学难点： 1、集合的概念，集合中元素的三个特征；

　　 2、能正确表示一些集合．

　　（二）知识框架图

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　　（三）知识精讲

　　Ⅰ．提出问题

　　 1．“集合”是大家在初中接触过的词语．比如“圆是平面内到定点的距离等

　　于定长（定长大于零）的点的集合” ．

　　我们在日常生活中也会遇到“高个子同学的集合”，“身高超过一米九的同

　　学的集合” ．你觉得这两个集合是否有本质上的区别？

　　2．我们在初中还遇到过“大于3的全体实数是不等式 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image007.gif} 解的集

　　合”，如何表示“大于3的全体实数”这个集合？实数a与这个集合的关系如何

　　表示？

　　Ⅱ．共同学习：

　　请你想一想，在初中数学里，你接触过哪些数或点的集合.

　　 （1） 正数集合；

　　 （2） 不等式2x－1＞3的解的集合是x＞2的实数；

　　 （3） 到定点A、B的距离相等的点的集合是线段AB的中垂线；

　　 （4） 角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合．

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　　1．集合：一般地，我们把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．

　　例如；①中国的直辖市；②方程x²－5x+6=0的实根；③附中图书馆里所有的图书；④所有的偶数……

　　集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如：“地球上的四大洋”这个集合中的元素是：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋．

　　2、常用数集及专用符号

　　 （1） 非负整数集（自然数集）N=｛0，1，2，3，…｝

　　 （2） 正整数集N^*（或N₊）=｛1，2，3，…｝

　　 （3） 整数集Z=｛0，±1，±2，±3，…｝

　　 （4） 有理数集Q=｛所有整数与分数｝

　　 （5） 实数集R=｛数轴上所有的点所对应的数｝

　　3．元素与集合的从属关系

　　对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，我们就说：“a属于A，记作a∈A”；如果a不是A的元素，就说：“a不属于集合A，记作aÏA（或a http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image009.jpg A）”

　　例如：设A=｛所有能被2整除的整数｝，当a=－6时，则a∈A；而当a=5时，则aÏA，即－6是集合A中的元素，5不是集合A中的元素．

　　4．集合中元素的三个特征

　　（1）确定性——因集合是由“指定的对象集在一起”所组成的整体，既然其中的元素都是“指定的对象”，那么，集合中的元素当然是确定的。如“我班个子高的同学”就构不成集合，因为什么是“个子高”无准确定义，它不符合集合的“确定性”。

　　（2）互异性——集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个（或几个）相同的元素只能算作一个，即集合中的元素不能重复。例如：方程 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image015.gif} ．

　　（3）无序性——集合中的元素无先后次序之分。如集合｛1，2，3｝，｛3，2，1｝，｛2，1，3｝…都是同一集合.

　　5．集合的表示方法

　　（1）列举法——将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集。如｛所有大于0小于10的奇数｝这个集合用列举法表示为｛1、3、5、7、9｝

　　特别地，当所给集合中的元素具有规律性时，即使元素很多，亦可用列举法表示，此时，只要列举出若干个能够反映出这种规律的元素，其余元素用省略号代替即可。如｛小于100的自然数｝这个集合可用列举法表示为｛0、1、2、3、4、5、…、99｝．

　　（2）描述法——将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来。常用于表示无限集。其一般格式如下：｛P |P具有的性质｝

　　（分隔号可换成：或；）分隔号前表示该集合中的代表元素是什么；分隔号后表示这些元素具有什么共同特征和性质。如｛不等式x－3>2的解｝，此集合可用描述法表示为｛x∈R|x－3>2｝；｛小于100的自然数｝这个集合可用描述法表示为｛x∈N|0≤x≤99｝．

　　

    （3）文氏图法——画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示不需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合也可用图示法表示。如集合｛1、2、3、4、5｝用图示法表示为：http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image017.jpg

　　【应用举例】

　　例1求集合｛x²－x ，x， 1｝中x应满足的条件．

　　解：由集合元素的互异性可知 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image019.gif}

　　当 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image021.gif} 时，x=0或x=2；

　　当 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image025.gif} ，

　　因此x应满足的条件是x∈R且x _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image033.gif} ．

　　例2用适当的方法表示下列集合：

　　①所有大于0的偶数组成的集合；

　　②由大于1小于20的所有质数组成的集合；

　　③方程x²-9=0的所有实数根组成的集合；

　　④直角坐标系内所有第一象限内的点组成的集合．

　　解：① _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image035.gif} ； ②｛2，3，5, 7, 11, 13, 17, 19｝；

　　③{-3,3}； ④ _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image037.gif} ．

　　例3集合A中的元素是由 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image039.gif} 组成，判断下列元素x与集合A之间的关系： _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image041.gif}

　　解：因为 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image043.gif}

　　 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image045.gif}

　　又 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image047.gif}

　　而此时 _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image049.gif}

　　综上所述，0∈A， _{http://lms.webschool.cn/c_packages/0910a/tbjx/41/tj41090901/1/images/image051.gif}