勒贝格测度（lebesgue 测度）

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广为比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射m，它能将实数集的子集E映射为非负实数mE。称这样的映射（集函数）为集合E的测度。最理想的情况应该是m具有以下性质：

• mE对于实数集的所有子集E都有定义。
• 对于一个区间I，mI应当等于其长度（端点数值之差）。
• 如果{E_n}是一列不相交的集合，并且m在其上有定义，那么http://upload.wikimedia.org/math/1/0/4/104af96d9a2bdae236e8d60c6de041c7.png。
• m具有平移不变性，即如果一个m有定义的集合E的每个元素都加一个相同的实数（定义为http://upload.wikimedia.org/math/c/8/5/c8553fb1c96c0630e9bf3184711816a2.png，记作E+y），那么m(E+y)=mE。

遗憾的是，这样的映射（集函数）是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。其中一个例子是若当测度，它只满足有限可加性（第三条性质希望具有可数可加性）。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。

例子[编辑]

• 如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
• 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
• 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。