提公因式法是分解因式的最基本的方法，下面谈谈提公因式的三种类型.

一、        直接提公因式

即找出要分解的多项式各项的公因式，直接提出来，公因式可以是单项式也可以是多项式，注意要一次提尽.

例1. 把多项式3x⁴y²－6x²y³+12x³y分解因式.

分析：通过观察发现多项式各项的系数有最大的公约数3，我们还发现各项都含有字母x、y，且字母的x的最低指数是2，y的最低指数是1，所以公因式是3x²y.

解：3x⁴y²－6x²y³+12x³y

=3x²y（x²y－2y²+4x）.

例2. 分解因式3a(x+y)²+6a(y+x)³.

分析：这个多项式的两项中，系数的最大公约数是3、都含有字母a、并且都含有多项式x+y，所以此多项式的公因式是3a(x+y)².

解：3a(x+y)²+6a(y+x)³

=3a(x+y)²[1+2(x+y)]

=3a(x+y)²(1+2x+2y).

二、        变形后提公因式

有时所给多项式表面上没有公因式，但其中一些项中有相等部分或互为相反数的部分，这时将其变形后会出现公因式，要注意其中的符号不要变错. 常用的变形有：（b－a）²ⁿ ＝（a－b）²ⁿ，（b－a）²ⁿ⁺¹＝－（a－b）²ⁿ⁺¹（n为整数）.

    例3. 把多项式6 x（x－y）²＋3（y－x）³分解因式.

分析：考虑到（y－x）³＝－（x－y）³，变形后可得多项式6 x（x－y）²＋3（y－x）³的公因式是3（x－y）².

解：6 x（x－y）²＋3（y－x）³

＝6 x（x－y）²－3（x－y）³

＝3（x－y）²［2 x－（x－y）］

＝3（x－y）²（x + y）.

例4.　把多项式x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）分解因式.

　　分析：有的同学把（m－x）（m－y）改写成－（x－m）（y－m），实际上这是错的，因为同时改变积中两个因式的符号时其值不变.

　　解：x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）

＝（x－m）（y－m）（x－m）

＝（x－m）²（y－m）.

三、        多次提公因式

有的分解因式的题目在提公因式整理后还有公因式，这时要注意继续提取公因式.

例5. 分解因式（a+b）²+a（a+b）+b（a+b）.

分析：原多项式的三项的公因式是a+b，可以提公因式分解，结果整理后还要再提公因式.

解：（a+b）²+a（a+b）+b（a+b）

=（a+b）[（a+b）+a+b]

=（a+b）（2a+2b）

=2（a+b）²