漫谈哥尼斯堡七桥问题

对于这个问题，很多的数学教育工作者都在谈论这个问题，还有很多的数学课外读物也在谈论这个问题——因为这个问题有趣而能雅俗共赏。甚至哲学家还在讲授这个问题。我对于他们的讨论很不满意，感到一些教育工作者的讨论过于举例而没有挖掘该问题的哲学含义；而哲学家只站在哲学的角度讲，很缺少数学的思想。

对于哥尼斯堡七桥问题在中小学课本里是有的，甚至奥数课里也有。到了大学就也有就是——图论与拓扑学——这是两们很重要的数学分支——尤其是对于学习计算机网络专业的学生与数学专业的学生更为重要。我时常说欧拉是我崇拜的偶像。其实哥尼斯堡七桥问起就是欧拉解决的——他把该问题归结为一笔画的问题。为了让读者更清楚的了解哥尼斯堡七桥问题。我不免要引用一下哥尼斯堡的叙述。

“18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）”

从这个故事中我们可以得到哪些启示呢？

一，         数学来源于自然界与人类的现实生活。哥尼斯堡七桥问题就是在人们实践活动中提出的一个数学问题。这个问题欧拉接到之后第二年（）才给出正确的答案。可见这位数学天才也是经过一番思考的。现实生活中有很多的问题，我们怎样把这些问题转化为数学理论问题是很重要的。我想欧拉就是榜样。

二，         这个问题是如何解决的呢？欧拉这位数学英雄应用了数学抽象的方法：把每一块陆地抽象为一个点，而把桥抽象为一条线。这样就把实际问题归结于点线的结合问题。这就说明了数学不仅来源与生活而且是生活的具体例子的抽象。在这个问题上，欧拉考虑到陆地的大小与桥的长度与问题是无关的，因此可以忽略掉——所以可以用点线表示。哲学家在这里不免要大发议论。说：在这个问题中体现了很多的哲学辩证思想。例如：实践与理论，主要矛盾与次要矛盾，现象与本质，抽象与具体等等。哲学家们说；欧拉哥尼斯堡七桥问题是来源于实践的，被欧拉上升为理论的高度，欧拉发现了一笔画的定理。同时欧拉的一笔画定理在生活实践中又得到广泛的应用。这就是说理论来源于实践用于实践。欧拉解决这个问题时抓住了主要矛盾——桥与陆地的连接关系——忽略了次要矛盾——桥与陆地的大小长短。所以我们在解决问题时要像欧拉一样牵牛要牵牛鼻子——要抓住事物的主要矛盾，而不是胡子眉毛一把抓。欧拉的这个问题也反应哲学上的另一对矛盾——现象与本质。有哥尼斯堡七桥问题就有哥尼斯堡八桥问题，就有九桥问题n桥问题等等。不仅欧洲有哥尼斯堡七桥问题，中国也有这样的问题。不仅地球上的所有国家有这样的问题，宇宙中也有这样的问题。这些都是现象，本质是什么？是欧拉的一笔画定理。我们主要抓住或掌握欧拉的一笔画定理。类似哥尼斯堡的无穷多的问题我们都会解决，这就是我们解决问题要抓住本质而不是五彩缤纷的现象。欧拉的一笔画问题还反应了哲学上的另一对矛盾就是抽象与具体。欧拉从具体的哥尼斯堡七桥问题抽象出一笔画定理。可以说哥尼斯堡七桥问题是具体的，可是欧拉一笔画问题是抽象的。但一笔画定理这个抽象的定理却可以解决无穷多的很多类似于哥尼斯堡七桥问题的具体问题。例如我们邮递员送信，如何走让自己不走重复路线——不然不经济——其实这也是一个最优化的问题。再例如我们网路如何连线最节省资源。再例如如何安排一项工程不窝工。可以说欧拉老先生在当时也没有想到他的一笔画问题却在今天得到广泛的应用。一个抽象的理论竟然被很多的领域中得到广泛的应用，难道我们不叹为观止吗？可见哲学家对哥尼斯堡七桥问题挖掘的挺深刻呢，其实是我自己在挖掘这么多深刻的哲理。那么哥尼斯堡七桥问题的数学意义又是什么呢？

三，         哥尼斯堡七桥问题开创了人类对图论研究的先河。欧拉是当之无愧的图论之父。万事开头难。自此欧拉的一笔画定理发现之后，人类对图论的研究就快速的发展起啦了。其实这也是很自然的事情，有一笔画问题，两笔画，三笔画，n笔画问题如何呢？这样后继者就沿着欧拉老先生开辟的道路继续前进。我很早说过源泉重要，有此一例就可想而知了。

四，         欧拉不仅是图论的创始人，他也是拓扑学的先驱。可以说一笔画问题不仅仅是一个图论问题，而是一个几何学的一个新的分支——人们把这种几何学成为拓扑学或橡皮几何学。

五，         欧拉解决了这个哥尼斯堡七桥问题。实际上是欧拉解决了一类问题——与哥尼斯堡类似的问题都可以用一笔画来解决。这就是数学应用的广泛性。我们常说数学家万能，为什么？就是因为他是从自然界与社会中抽象出来的，因此得到广泛的应用，自然数学家就万能了。

六，         我们在数学研究与教学中或实践活动中，要向欧拉学习。要针对具体问题把不重要的因素忽略，抓住主要矛盾，把一个现实生活问题转化为一个抽象的数学问题，随后能上升为理论的高度来反过来指导我们生活中的现实问题。也就是说我们要学习欧拉解决此问题的方法思想。

七，         我要对哥尼斯堡七桥问题再次抽象为——不重复的工程。在经济领域我们很早就有重复建设严重之说。例如一个好的项目，全国各个省的一窝蜂的都上马，不仅如此还要自己吹牛一番说我这个项目是我省或全国如何如何——其实是真是假就很难说了。这种重复建设造成利润率低下，造成产能过剩——我很欣赏武汉大学经济管理学院的伍行木教授——这位老先生很早就提出中国的产能过剩——问题早晚要出现——现在的确出现了——本届政府在今年因为产能过剩把一些企业都压死了——商丘一个最好的铝厂给搞破产了——职工分流了。产能过剩是什么意思？就是哥尼斯堡七桥问题的一个桥走两遍，不仅如此，一个桥走两遍，如果桥很长的话，很费劲的，耽误时间还要多吃两个馒头。我们经济建设中的重复建设也是欧拉七桥问题中的一条大桥走两遍——显然是不经济的。最优化问题是排斥重复的。任何一项工作，如何做能不翻工，也就是不重做——这就需要合理安排。这种合理的安排就会提高办事效力。其实我们人类也在无形之中受这个不重复法则的影响。我到月球上办五件事，我不会跑五次甚至十次，我会一次办完——这是最好的效率最高的办法。这点我们的城市规划应该好好学习一下欧拉的一笔画问题。

八，         很多的城市天天年年是阻止交通的搞建设，天天年年是拓展马路，天天年年搞重复建设。我们常说一劳永逸，这说明规划好。人类发展的目的是解放人——让很多人不再去繁重的体力劳动。可是在中国我们做不到。一笔画问题在中国是很难实施——这就说明了我们办事效率很低。