类比又一例--椭圆的面积与周长_彭翕成

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类比又一例--椭圆的面积与周长

(2012-11-30 08:42:08)

标签：

类比

合情推理

椭圆面积

椭圆周长

读者来信

分类：初等数学

类比又一例

彭翕成 pxc417@126.com

武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079

一位中学老师来电话感谢我，说是前几天公开课讲合情推理，用到我博文中的一个案例：圆面积导数是周长，正方形又如何？

评委认为案例有新意，粗看起来正方形不具备圆那样的性质，仔细琢磨发现是类比不当造成的，这启发我们类比迁移要注意本质。

我很高兴写的博文能帮到这位老师。毕竟写出来了，还是希望有人看，对人有用。下面我再给出一个案例。

     一个圆和它的外接正方形，面积之比和周长比都是 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/9/6/c96393621b7f914f0d6a7cf7f2fcaa8bd5e2d4a8.gif；
     即            http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/d/9/1/d91fd455e0ecbd16e6a5f70ed5c6806157453b62.gif。

     而椭圆和外接长方形的面积比也是 $\frac{\pi ab}{4ab}=\frac{\pi }{4}$ ，那么是不是类比猜想椭圆和外接长方形的周长比也是 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/9/6/c96393621b7f914f0d6a7cf7f2fcaa8bd5e2d4a8.gif，于是椭圆周长为： $\frac{\pi }{4}\cdot 4(a+b)=\pi (a+b)$ ？？？？

这种类比有道理，但要注意合情推理所得结论未必都是对的。

    只需假设一种特殊情况，就可以否定这一猜想。当短半轴 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/f/5/0f5ce2f04c1e63b2d549f9342af78f8b2b4691d9.gif。

    椭圆可看成是由圆压缩而成，椭圆面积只需将圆面积乘一个压缩系数，http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/0/3/f03a9cce6cfacef72f41b7bedc126cdb497bb5e3.gif。

    从微积分的角度来看，就是将圆分割成很多的长方形小条，如果是竖直方向压缩，则所有的长方形小条保持底不变，高乘以压缩系数。用微积分来求椭圆面积，也不过就是用数学公式将上述过程表述一遍罢了。

    设椭圆方程：http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/3/b/43bd4ecb976b3305fa3dd62dea576fa4da329ea4.gif
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/c/7/bc789a770b62c7610f643d26b1f7b11cbb55ad48.gif 。

   在圆压缩成椭圆的过程中，弧线长并不是均匀变化的，这导致求椭圆周长的困难。
   按照弧线长计算公式 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/8/b/08bb4578b41dbeedaf47d3189155beecb053253b.gif。
   具体计算时，一般采用级数形式展开，http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/4/d/c4d84d731e9a431a17823c20f74e6377f5a71934.gif。

    数学界普遍认为，椭圆周长没有精确的初等表达式。也有人认为肯定是存在的，只是目前没找到。

    蛇足1：一个圆和它的外接正方形，面积之比为 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/9/6/c96393621b7f914f0d6a7cf7f2fcaa8bd5e2d4a8.gif；可这样考虑，如图1，假设圆半径为1，那么4个小正方形OAPB的面积肯定要比圆面积要大，而2个小正方形OAPB的面积又要比圆面积要小，于是大胆猜测拿3个小正方形OAPB的面积与圆面积比较更为靠谱，可得到圆周率近似等于3。

         http://s15/mw690/6029f033xcfabdf0378fe&690      http://s8/mw690/6029f033xcfabdef80cd7&690
            图1                        图2
    而事实上，古代数学家也曾经这样做过，只不过他们的做法更加精确。利用出入相补的思想，化曲为直计算圆面积，将圆面积近似地转化为八边形的面积（图2），于是 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/6/9/569453b45cfa59f61adafdbe489e2ece368f8cf2.gif。这样计算得出的圆周率，也算精确。

蛇足2：接到这位老师的电话，我当然是高兴的。但最后我问他的姓名，是哪个学校的老师时，他说我只是一名的普通中学老师，您就没必要知道了。我很无语，不过也习惯了，之前也碰到类似的情况，只是一直不明白，既已知我不是骗子，告诉一声又何妨呢？

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