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(2012-11-26 20:07:43)
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循环论证勾股定理余弦定理正弦函数定义重要极限 |
分类： 初等数学 |
再谈循环论证
彭翕成 pxc417@126.com
武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
最近杂志上有不少文章在讨论循环论证。这样的讨论当然是有价值的，因为讨论过程中会涉及很多知识，使得我们的视野更加开阔。
我曾写过一篇《也谈循环论证》（发表于《数学教学》2008年12期），其中引用了张景中先生对循环论证的看法：
“孤立地看一个命题的证法，是很难肯定它是否犯了“循环论证”的错误的。因为证明中还没有出现循环。循环是怎样产生的呢？往往是在寻根问底的追问下出现的。例如：学生用余弦定理证明勾股定理，教师追问“余弦定理怎么证明的呢”？如果学生又用勾股定理来证明余弦定理，教师则可以指出这是犯了循环论证的错误。反之，如果学生不用勾股定理而用其他别的方法给出了余弦定理的一种证法，那就不但没有犯循环论证的错误，而且应当表扬他的勇于思考的精神。
因此，说某种证法“暗含”循环论证，严格说来是不确切的。你说他的证明中用到了某某定理，而这个定理又是如何证明的，他可以反驳到：我可以用别的方法证明那个定理，这就扯不清了。
有一种说法，说是以“现行教材系统为准”，这一说法并没有解决问题。因为，“循环论证”是一个逻辑概念。数学证题中没有出现循环论证，应当有一个稳定的客观标准，——以目前数学公理系统为准，而不应当随教材的变化而变化。否则，同一题目的同一做法，今年是“循环论证”，过几年又可能不是了。在中国是“循环论
证”，在美国可能就不是了，这就乱了。”
个人认为，张先生这段论述，应该作为讨论循环论证的一个基础。下面我们对具体案例进行分析。
例1：证明对数换底公式http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/5/5/455eae5f3369cf62bfffa0d8e8ae62f3dce321bf.gif。
证明：由http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/e/1/ee132c431f8882f27b41dc44077c999f1652704e.gif。
有观点认为这属于循环论证，因为http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/9/b/3/9b3994dce504d3664e1e4f66fe1342bf76d016b1.gif。
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/0/9/6097834a887d23823d83188cb6bb0ea0ce65a20e.gif是不是非依赖换底公式不可？
不是的！http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/b/4/6b4dd455fb1178693ef91cfc220126136055fc44.gif。
例2：用http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/b/9/7b92ae3adec1291988a41e87cee88a88605a30c4.gif证明勾股定理算不算循环论证？
有观点认为这属于循环论证，因为
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/1/9/71976f10ff26859b0577c13c103ca47f4f1dc3f8.gif。
持有这种观点的人心中已经有一个根深蒂固的模式：一定要先有勾股定理，然后才有三角恒等式http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/b/9/7b92ae3adec1291988a41e87cee88a88605a30c4.gif。
那能不能不用勾股定理证明http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/b/9/7b92ae3adec1291988a41e87cee88a88605a30c4.gif呢？
证明：如图1，
http://s4/bmiddle/6029f033xcf64ce0b6093&690
图1
由http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/3/1/f311ed05e8f269989f7e14a1e661e99f986d79b0.gif得
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/c/8/5c80e01349d38dae9c39f404d1a453c5aaacbae8.gif
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/2/e/b/2ebe6ff2290e74110dbaaa6cc60ee29d77908c6f.gif，
即http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/4/f/f4f0856b3f4369ab3aab201df7268841744690a8.gif。
若http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/0/4/b046c1a07441bfc637da0be1443a930e29864314.gif。
例3：用余弦定理证明勾股定理算不算循环论证？
争论的焦点也是看能否不找到不依赖于勾股定理的余弦定理证法。下面给出两种证法，更多面积法证明参看《从数学教育到教育数学》（张景中著）和《仁者无敌面积
法》（彭翕成、张景中著）。余弦定理证法很多，之所以此处要采用面积法，是因为面积法证明比较基础，基本上不依赖于其他数学知识。
证法1：如图2，注意到http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/6/6/466829c84f1c30359b47de2487bb92a5b67c2c71.gif。
证法2：如图3，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/9/f/9/9f914540e32fc24999f191e9ae225b66eaa3bd8f.gif，可得余弦定理。
http://s15/mw690/6029f033xcf64d02ab72e&690
图2
图3
例4：用洛必塔法则证明http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/5/f/55f7a4e640c9ed9b6c5ef64d6add7deab675b90b.gif算不算循环论证？
认为算的理由是：http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/f/8/5f8bbcde576c5dc4e62513b8b9a4b2026f9ac69c.gif
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/e/c/3ec141110124885dbaa35d8963e909f1c42eed49.gif 。
例5：证明http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/d/1/2/d1248e62eef2861703e0f9fec813184d97e890c5.gif。
证明：设http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/e/0/3e03f4706048fbc6c5a252a85d066adf107fcc1f.gif在
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/9/8/b98fb7e48d933451a741df30ccb8d3865cab5590.gif。
有人认为这属于循环论证，理由是用到http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/9/8/b98fb7e48d933451a741df30ccb8d3865cab5590.gif推导而来。
因此解决例4和例5的争端，就看能否找到http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/5/f/55f7a4e640c9ed9b6c5ef64d6add7deab675b90b.gif。
其实，在高等数学中常常用公理化的角度定义三角函数，而不是依赖几何直观。譬如在数学大师陶哲轩的《实分析》中，就是用指数函数定义三角函数，即http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/e/b/feb5212337c652c897f66a217154bf475403b994.gif。
有网友与我辩论说，若是按照你这样的观点，那哪还有什么循环论证？其实不然，循环论证是客观存在的。譬如例6和例7。
例6：设http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/8/8/7884732d4e0ad86e961ffa15e88395140edb7a26.gif。
证明：由http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/8/8/7884732d4e0ad86e961ffa15e88395140edb7a26.gif。
此证法有循环论证的嫌疑，因为题目要求证的结论包含两部分：http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/4/1/f418bdd00199f42436cced10dd898b257cbfe264.gif存在，且等于常数a，而证明中已经假定了极限存在。
这种错误在初等数学中也是有的。
例7：证明三角形内角和等于http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/6/9/c69a27acfaa09b6d21bd1f463d00c9c11fe0ce80.gif。
证明：设三角形内角和等于http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/7/6/076e401602f54977b9bd154f308ffa26272f6510.gif。
http://s12/mw690/6029f033xcf64d2b4bc4b&690
图4
此证法有循环论证的嫌疑，因为要求证的结论包含两部分：三角形内角和等于常数，这个常数等于http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/6/9/c69a27acfaa09b6d21bd1f463d00c9c11fe0ce80.gif，而该证法假定了内角和为常数。当然，如果能另外找到方法证明内角和为常数，那么这种证明也是可以的。
讨论循环论证，有助于深入理解知识点的来龙去脉，熟悉证明方法及其论证依据。作为老师，在教学中要大胆鼓励学生多角度思考问题，对所学定理顺推、逆推，而不要一谈循环论证就色变。只有这样，学生才能将所学知识点编织成知识网络，不致于只见树木，不见森林。
彭翕成 pxc417@126.com
武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
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