留函数及其塌缩

量子力学的测量问题的核心，是诠释测量时“波包是怎样塌缩的”。为解决量子力学的测量问题，我们开拓了一种新的随机理论泛函随机理论：(1)引入了描写随机变量的算符及其本征值与本征函数，(2)定义了描写随机试验及随机过程的留函数，(3)区分了两类不同的随机变量；重新审查并简化了量子力学的公理体系，并指出：留函数塌缩是对随机变量进行测量时留函数的普遍性质，而波函数是用留函数描写微观系统的特例，因而顺利地解决了波函数塌缩问题。                                    

在本文中，我们讨论概率论中的母函数与特征函数，以及母函数与特征函数的塌缩。在随后的文章中，将讨论描写随机试验及随机过程的留函数，以及留函数的塌缩；并最终讨论波函数的塌缩。

19世纪拉普拉斯为了把随机试验的性质概括在一个表达式中,引入了母函数。若随机变量X为非负整数，且它的分布律为：

0,      1     2    3    …

                                                    (1)

p_o ,  p₁     p₂  p₃  …

其中p_k为X取k的概率，则定义X的母函数为：

G(s)=Σp_ks  ^k                     (2)

其中S是一变量。(上式中Σ表示对所有项相加,以后都是如此，不再标出)

后人又发展了拉普拉斯的思想，取消随机变量X取值的上述限制，引入了随机变量的特征函数。今就X具有离散谱的情况阐明之。若X的分布律为：

x₁     x₂  …   x_k …               

p₁     p₂  …   p_k  …        (3)

我们定义X 的 特 征函数为：

Φ(ω)=∑exp{iωx_k }p_k                  (4)

其中ω为实变量,此特征函数的意义是:X的值或者是x_1，其概率为p₁；或者为x₂，其概率为p₂…。下述问题在概率论著作中没有受到足够的重视，然而对于物理学是非常重要的：若观察者观测到随机试验中X的某个具体值时，此随机变量的分布律和特征函数是否改变？我们认为对于此观察者而言，他描写的这一随机试验的分布律及特征函数都应随着他的知识的增加而改变。例如，当观察者观察到X的值为x₁时,则由(3)式表示的分布律立即变为：    

x₁    x ₂  …     x_k    …

1      0    …      0    …

其特征函数立即变为：

φ₁(ω)=exp(iωx₁)                    (5)

特征函 数 由Φ(ω)改变为φ₁ (ω)称为特征函数的塌缩。母函数亦有类似情况,称为母函数的塌缩。

一般而言，特征函数没有纯客观地描写随机试验出现的客观结果，它包含着观察者的知识因素，当观察者的知识改变时，它也随之改变。其实，纯粹自然界没有概率；概率的概念是人类思维的产物，人类的思维因素进入概率论的数学表达式是科学的进步。

在下文中我们讨论描写随机变量的算符与描写随机试验的留函数，以及留函数的塌缩。

我们讨论过用特征函数描写随机试验，但是也可以不用特征函数来描写，而用留函数来描写它。留函数是Hilbert空间的元素。首先在Hilbert空间引进对应于随机变量X的算符X，限定它是线性的，其本征方程为：

X ψ =λψ                                (6)

其中ψ是Hilbert空间的某些元素(矢量)，称为X 的 本征矢或本征函数，称λ为X的本征值，它是某些常数，不同的本征值对应的本征函数是正交的。我们这样构造算符X，使得X的诸本征值与随机变量X的可能值是相同的。X的值为离散的情况下，本征方程(6)的形式为：

Xψ_k=x_kψ_k                                       (7)

x_k 是X的诸可能值，ψ_k是对应于x_k的本征函数。例如，算符X可取为对角矩阵：

X=diag{x₁,x₂,…}                        (8)

本征函数ψ_k 是一行矩阵，其归一化的形式取为：

ψ₁=(1,0,0,…)^T,   ψ₂=(0,1,0,…) ^T…      (9)

正交归一化的表示式为：

(ψ_k ,ψ_l )= δ_kl                                        (10)

我们定义：这一随机试验的留函数为：

Ψ =Σc_kψ_k                                        (11) 

其中c_k模的平方等于X 取x_k 的概率，即：

p_k =|c_k | ²                                   (12) 

由此定义可知，c_k 并不是唯一确定的。(所有式子中Σ都表示对各项相加，以后不再标出)

由于Σp_k =1 ，故有：

(Ψ,Ψ)=1                                (13)

称(13)式为留函数的归一化条件。因此,可以说随机试验的留函数是模为1的Hilbert空间的矢量。由(10)式易求得：

c_k =(ψ_k,Ψ)                               (14)

由于留函数总能用本征函数展成迭加式，因此称{ψ_k ,k=1,2,…}构成了正交完全归一集。对于一次随机试验的留函数(11)式的意义应作以下理解：在此次随机试验中，随机变量X 的值或者为x₁，其概率为p₁，或者为x₂，其概率为p₂ ,…… 。由于在一次随机试验中，只有一个随机事件发生，而留函数是各个可能发生的随机事件对应的本征函数的迭加，因此它与特征函数一样，也不是对于客观事实的真实描写，它是观察者对于一次随机试验可能出现结果及对其可能性大小估量的数学工具。当观察者观察到X取某个数值x_k时，引起了观察者知识的改变，留函数Ψ立即塌缩为x_k的本征函数ψ_k，称为留函数的塌缩或概率包的塌缩。 随机变量X的数字特征易于用留函数表示，不赘。

在实践中，测量x_k 时，x_k 往往可看作某一最小单位ε的整数倍，即：

               x _k=kε   k=0,±1,±2,…                         (15)

在这种情况下，可令：

X=iεd/dφ                                       (16)

其中φ是任意角度，由X的本征方程可求得x_k 的归一化的本征函数为：

ψ_k=1/√2π exp{-ikφ}                       (17)

也可以选取X 为一对角矩阵，其对角元素为kε(k=0,±1,±2,…)。

在随机变量X的值x′连续的情况下，本征方程应为：

Xψ_x′(x)=x′ψ_x′(x)                         (18)

其中x是自变量，ψ_x′(x)为x′的本征函数，x′∈(-∞,+∞)。符合(18)式要求的方程为：

xδ(x-x′)=x′δ(x-x′)                      (19)

所以，我们取：

X=x                                    (20)

X′ 对应本征函数是：

ψ_x′(x)=δ(x-x′)                         (21)

其正交归一化条件可取为：

(ψ_x′(x) ,ψ_x″(x))=δ(x′-x″)              (22)

在此情况下，留函数的定义式(11)应改为：

Ψ(x)=∫c(x′)ψ_x′(x)dx′                  (23)

易于证明，留函数的归一化条件仍然成立：

(Ψ(x),Ψ(x))=∫|c(x′)|²dx′=1              (24)

上式中的|c(x′)|² 就是X取x′ 的概率密度w(x′)，即：

w(x′)=|c(x′)| ²=|Ψ(x’)| ²                 (25)

x取值为连续时，其意义与离散谱时相同，不赘。

两类过程的留函数和量子力学新公理体系 

一、第一类随机过程的留函数 

目前数学家研究的随机过程，在任意时刻 t 随机变量X都有确定值x，虽然未测量时不知它的大小。对于这样的随机过程可以画出任意样本函数的 x-t 曲线，此种随机过程我们称之为第一类随机过程。

应用留函数描写第一类随机过程没有任何困难。若x_k,、φ_k(k=1,2,…)是X的本征值及本征函数，留函数是随时间 t 变化的，它是ψ_k的线性迭加：

Φ(t)=Σc_k(t)φ_k                                                   (26)

其中c_k(t)模的平方是 t 时刻 x 取x_k的概率，即：

p_k (t)=|c_k (t)|^|2                                                 (27)

对于第一类随机过程，任何时刻t都可以把它的留函数Φ(t)看作该时刻的随机试验的留函数。第一类随机过程的留函数的意义为：在时刻t随机变量X的值或者为x₁，其概率为|c₁ (t)|²_,或者为x₂ ，其溉率为|c₂ (t)^|2,……；也可以说，系统或处于φ₁ 中，其概率为|c₁ (t)|²，或处于φ₂ 中，其概率为|c₂ (t)|²……。当观察者观察到X的值为x_n 时，留函数Φ(t)塌缩为φ_n 。

二、第二类随机过程及其留函数

除了第一类随机过程，还存在另一类随机过程：对于任意时刻 t ，随机变量X不具有某个确定的值，也不存在样本函数x (t)，当然也画不出样本函数的 x-t 曲线，仅当使用测量仪器对X进行测量时，在测量仪器的强烈作用下，迫使X随机地取某一确定值x′ ，且其概率随时间 t 变化，即p_x′=p_x′ (t)，这种过程称为第二类随机过程，它的随机变量 X 称为第二类随机变量。对于第二类随机变量X而言，测量仪器的作用是不能忽略的，“在测量前X的值是多大”或“X的值原来是多大”是没有意义的。

在宏观领域内，第一类随机过程大量存在，但也有少量第二类随机过程，在微观领域内,第二类随机过程占统治地位。下面通过一个宏观的第二类随机过程的例子，进行详细考查。任意掷出并落在台面上的骰子，是一次随机试验，但骰子的运动作为随机过程尚未见研究过。骰子在高处以1点向上而下落，台面的高度可以任意调节，当t=0时有：

p₁=1,  p₂=p₃=…=p₆=0  

上式中的 p_n 表示 n 点出现的概率。由于空气扰动等因素的影响，当t→∞时，各点出现的概率都相同，都为1/6 。当 t 取大于0的有限时间时，p_n 应是时间t的函数p_n (t)，显然这是一个第二类随机过程。在此过程中台面及自动记录骰子出现几点的设备构成了测量仪器，台面的作用是不能忽略的，它迫使骰子的某一点向上，即测量仪器迫使随机变量X取某一确定的值x′(x′=1,2,…,6,)，骰子在空间运动时，随机变量X没有确定值。

怎样描写第二类随机程呢？骰子的运动可以用力方法描写，例如描写它的质心运动及绕质心的转动，还要考虑空气的随机扰动，这是非常困难的。更为重要的是，即使在力学中进行了详细地描写，仍不能解决骰子出现几点的概率是多大以及它是怎样随时间变化的这一根本问题。我们感兴趣的不是骰子的真正运动状态，而是对于随机变量 X 进行测量时n点出现的概率是多大以及它是随着时间t怎样变化的？骰子在空中运行时，直接用概率p_n(t)或特征函数(4)式描写这个第二类随机过程是不可以的，因为任意时刻 t ，X 没有确定的值，但是可以用留函数描写这个随机过程。以X表示骰子出现几点这一随机变量X的算符，其本征方程应为：

X ψ_k =kψ_k    k=1,2,…,6                 (28)

X可选为对角矩阵，对角元素为随机变量x的各个可能值，即：

X=diag{1,2,…,6}                           (29)

正交归一化的本征函数可取为：

ψ₁ =(1 0 0 … 0)^T        ψ₂=(0 1 0… ) ^T,……           (30)

若骰子已落在台面上，且已知X的值为n，则称骰子处于本征态ψ_n 中，也就是说，只有当骰子处于本征态ψ_n中，X才有确定的值n 。我们定义此随机过程的留函数为：

Ψ(t)= Σc_k(t)ψ_k                                                (31)

其中c_k (t)可以是实的，也可以是复的,且要求在任时刻t对X进行测量时，k点出现的概率为c_k(t)模的平方，即：

p_k(t)=|c_k(t)| ²                                             (32)

由于第二类随机变量X在任意时刻 t 没有确定的值，故不再把由(31)式定义的留函数与由(26)式定义的第一类随机变量的留函作同样理解，即不能把由(31)定义的第二类随机过程的留函数理解为：随机变量X的值或者为1，骰子的状态为ψ₁ ，其概率为p₁ ；或者X的值为2，骰子的状态为ψ₂ ，其概率为p₂ ;…… 。可以把由(31)式定义的第二类随机过程的留函数理解为：骰子既部分地处于ψ₁ 中，X部分地具有1点，其概率为p₁；同时也部分地处于ψ₂ 中，X部分地具有2点，其概率为p₂;…… 。Ψ(t)是观察者测量第二类随机变量X的值时，估量出现什么结果及其出现的潜在可能性的数学工具，它把测量时所有可能出现的结果及其概率概括在一个数学表达式中。若在时刻 t 对X进行测量，测量仪器与骰子发生了强烈的相互作用，在观察者未看到测量结果以前，可以看作进行了一次随机试验，这个随机试验的留函数应为(11)式Ψ=Σc_kψ_k ，k点出现的概率为|c_k|² ，而按照第二类随机过程留函数的定义式(31)与(32)，对于随机变量X进行时，k点在t时刻出现的概率为|c_k(t)|²，因此：

|c_k^|2=|c_k (t)| ²                                    (33)

所以我们可以认为，当系统与测量仪器作用后，第二类随机过程的留函数变成了随机试验的留函数。也就是说，测量仪器的作用是把第二类随机过程转变为随机试验，把描写第二类随机过程的留函数转变为随机试验的留函数。对于随机试验的留函数(11)式的理解仍然是：骰子落在台面上，或者1点向上，状态为ψ_1，概率为p₁；或者2点向上，状态为ψ₂ ，概率为p₂ ;…… 。

进一步，当观察到X的值为n时，留函数Ψ立即塌缩为ψ_n ，即：

Ψ→ψ_n

与特征函数一样，塌缩发生在观察到随机变量取值的瞬间。前一篇文章和上两节叙述的理论称为泛函随机理论。

三、量子力学的新公理体系

将上述泛函随机理论应用于量子力学，将大大减少量子力学的公理，并可以简洁地解决它的测量困难。

微观系统的诸力学量，除非该系统处于它的本征态，都没有确定的值，当对某力学量进行测量时，在宏观测量仪器的作用下，该力学量随机地取它的某一本征值，其概率是时间的函数，因此微观系统的力学量全是第二类随机变量，从而可以用描写第二类随机过程的数学方法来描写它们。

由上述泛函随机理论可以看出，随机变量的算符表示、本征方程、本征值及本征数、测量时取其本征值之一、随机过程的状态可用留函数描写、迭加原理、玻恩解释、测量时留函数塌缩等，都是描写第二类随机过程的数学手段，而不是真正的量子力学公理，应当从它的公理体系中剔除。

量子力学的公理可归纳为以下三个：

(1) 微观过程都是第二类随机过程，其力学量都是第二类随机变量。

(2) 微观系统的留函数的变化遵守薛定谔方程，由于薛定谔方程是波动方程，又称微观领域的留函数为波函数。

(3) 共轭力学量的算符之间存在对易关系，如：

[ X ,Px]= i h/2π                      (34)

等等。

波包为什么会塌缩?在什么地方塌缩? 

量子力学的测量问题，尤其是波包为什么会塌缩以及它在什么地方塌缩，争论已久，参于争论的文章数以万计，浩如烟海。N.玻尔认为，要求解释波包塌缩是违背量子力学原则的^[1]；Von Neumann提出了著名的测量理论，并导致必须由观察者参予，观察者的意识迫使系统的波函数塌缩^[2]；薛定谔提出了著名的“薛定谔猫”的佯谬：按照Von Neumann的理论，必须观察者参予，用他的意识救活或杀死猫……。经历八十余年，测量难题仍未解决。究其原因，我们认为没有找到测量问题的根本症结，没有理解波函数的真正意义，舍本求末，不可能真正解决问题。

如果利用我们的泛函随机理论，量子力学的测量困难则可迎刃而解。由于微观系统的力学量是第二类随机变量，遵照在(四)中所提出的对于第二类随机变量的测量程序，易于解决量子系统的力学量测量问题。

(1) 若t=0时，量子系统的留函数(或波函数、或状态)为：

Ψ= Σc_nφ_n(q)                             (35)

其中q为被测系统坐标组对应的空间变量，φ_n(q)是力学量A的本征值λn的本征函数，即：

Aφ_n(q)=λ_nφ_n(q)                            (36)

Σ表示对各项的迭加。(35)式的意义是力学量A没有确定值，或理解为：A既部分地具有λ₁ ，系统部分地处于φ₁ 中；A又部分地具有λ₂ ，系统部分地处于φ₂ 中， ……。在 t = 0时，对A进行瞬间测量(瞬间测量的意义见下文)，根据对于第二类随机变量测量的普遍理论，当测量仪器与被测系统作用后，观察者尚未知道结果以前，观察者认为进行了一次随机试验，其留函数仍为(35) ，但应把迭加的意思理解为：A的值或者为λ₁ ，系统处于φ₁ 中，概率为|c₁|² ；A的值或者为λ₂ ，系统处于φ₂ 中，概率为|c₂^|2_|……。当观察到A的值为λn 时，随机试验的留函数Ψ塌缩为λn的本征函数φ_n(q)。

由此可见，量子力学的“投影公设”，不是量子力学的真正原理，而是用留函数这一数学工具描写随机过程和随机试验的必然结果。

(2) 考虑测量仪器状态变化时的测量过程

设 t = 0时，被测系统处于(35)式所描写的状态中，测量仪器处于仪器“指针”为g₀ 的本征态ξ₀(r) 中，r 表示仪器坐标组对应的空间变量。与系统的随机变量A对应的仪器的随机变量记为G，G的本征值和本征函数分别记为g_n与ξ_n(r)，g_n与A的本征值λn 一一对应^[2]。t=0时，与无相互作用，+处于状态

Ψ(q，r) =Σc_n(0)φ_n(q)ξ₀(r)                               (37)       

中。t≥ 0时与发生了相互作用哈密顿为：

H =H + H +H_int                                                       (38)               

上式中的H_int表示与相互作用的哈密顿算符。若测量过程所用的时间为τ ，即仪器的“指针”由g₀ 改变为g_n 用时为τ ，在此时间内A的值及其概率分布都可能发生变化，我们只讨论A为守恒量的情况，且用时 τ 极短，H_int 很大，H与H都可忽略，且要求H_int 在A表象中是对角的，即使

[H+H+H_int ，A] ≈[H_int ，A] = 0                        (39) 

(称“瞬时测量”)。此外，我们还要求下式成立：

exp(-2πi/h(H+H+H_int)τ)φ_n(q)ξ₀(r) ≈ exp(-2πi/hH_intτ)φ_n(q)ξ₀(r) = φ_n(q)ξ_n(r)                    (40)

上式的意思是：若t=0时，系统处于某λ_n的本征态φ_n(q)，则在测量后(t=τ)，依照薛定谔方程，系统+必处于λ_n与g_n 的共同本征态φ_n(q)ξ_n(r)中，仪器的状态由ξ₀ (r)变为ξ_n(r)。

在上述条件下，当t=0时，系统+处于由(37)式所表示的态中，t=τ时，系统+的状态就变为：

exp(-2πi/h(H+H+H_int)τ)Σc_n(0)φ_n(q)ξ₀(r)=Σc_n(0)φ_n(q)ξ_n(r)  = Ψ(q，r)                           (41) 

上式代表的是一次随机式验的留函数(或状态函数、波函数)，因为对于第二随机变量测量时，测量仪器把随机过程变成了随机试验。随机试验的留函数Ψ(q，r)的意义是:系统+或处于φ₁(q)ξ₁(r) 中，其概率为|c₁(0)|² ；系统+或处于φ₂(q)ξ₂(r)中，其概率为|c₂(0)|²;……。当观察到仪器的“指针”指向g_n 时，系统+的留函数塌缩为φ_n(q)ξ_n(r)，这就是所谓的留函数(或波函数、状态函数)的塌缩或波包塌缩。

当观测者观察到随机变量的具体数值时，母函数、特征函数、留函数、波函数都要塌缩，它们都不是对于随机试验、随机过程完全客观的描写，它们都含有观察者的知识因素，都要有“主观介入”。人们有了科学思维以后，才有“概率”这一概念，才产生了“概率论”这一学科，这是人类的进步，人类的思维进入数学和物理学表达式也是人类发展的一大进步！

许多年以来，学术界把用(41)式Ψ=Σc_n(0)φ_n(q)ξ_n(r)表示的随机试验的留函数，误认为是系统+处于纠缠态，其意义是:系统+既部分地处于φ1(q)ξ1(r)中，同时又部分地处于φ2(q)ξ2(r)中，……。由于这一错误理解，产生了著名的“薛定谔猫的佯谬”、多世界理论……。产生这一错误理解的原因是，人们把量子力学的“迭加原理”作为普适原理。在我们的泛函随机理论中，只有在描写第二类随机过程时，对于第二类随机变量的本征函数的迭加才作上述理解，当被测系统与测量仪器相互作用后，这种理解就不成立了，应当把(41)迭加式中的“+”号理解成“或者”。因此，系统与仪器作用后，+的状态Ψ(q，r)=Σc_n(0)φ_n(q)ξ_n(r)不是纠缠态，为了进行区别，我们可称之为刘氏状态。在这里也没有必要引入系综概念。

对于困扰学术界七八十年“薛定谔猫的佯谬”极易回答：箱子内的计数管、继电器、槌子、氰化钾瓶、猫构成了测量仪器，猫的状态起了仪器“指针”的作用，没打开箱子前，是进行了一次随机试验，它的留函数是猫死的状态与猫活状态的迭加，此处的“+”号应理解为“或者”，即猫不是死的就是活的，既死又活的猫是不存在的。当打开箱子的瞬间，观察者才感知猫是死是活，留函数才会塌缩。因此，不存在意识杀死或救活猫的问题，意识的“介入”只会使描写事物的表达式发生变化，不影响客观实在。

本文偏重于论述第二类随机过程及第二类随机变量的共性，对于微观粒子的特性未作重点讨论，如果要全面论述微观粒子的特性，需要很长篇幅。在此仅对电子在空间的坐标 r 这一第二类随机变量作简单讨论。以 r 表示 r 对应的算符，在 r 表象中，它的本征方程应为：

r φ_r’(r )=r ′φ_r’(r)

与方程

rδ(r-r’) =r’δ(r-r’)

比较，可见r的算符就是r，的本征函数是δ(r-r’)，即：

r = r  ，       φ_r’(r) =δ(r-r’)

电子的波函数可以展开为：

Ψ(r，t) =∫Ψ(r’，t)δ(r-r’)dτ’

其意义为：电子的坐标没有确定的值，电子既在r’处，同时又在r”处……，其概率密度为：

ω(r’，t) = |ψ(r’，t)|

在双缝实验中，粒子既从缝处穿过，同时又从缝处穿过，从薛定谔方程可以解得，电子穿过两个缝后的波函数为两个柱面波的迭加，形成了干涉。因此，微观粒子的相干是自己对自己的干涉，而不是穿过缝 与穿过 缝的两束粒子之间的干涉。当电子打到屏后的底片上点r’处时，是对电子的位置进行了一次测量，波函数Ψ(r，t)立即塌缩为δ(r-r’)。

 

 

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