课例：基本不等式（1）

315010  浙江省宁波第二中学   孙鋆

1内容分析

众所周知，数学学科的研究对象是数量关系和空间形式，不等关系是现实世界中普遍存在的数量关系.不等式作为高中数学的重要内容主要可以分为不等式性质、不等式解法、不等式证明和不等式应用等方面，在人教 版教材中主要出现在必修5第三章《不等式》和选修4-5《不等式选讲》.基本不等式作为高中学生学习的重要不等式模型之一,其在求最值和不等式证明中具有很强的应用性.

2目标定位

依据《普通高中课程标准试验教科书(数学必修5)教师教学用书》要求，基本不等式一节是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用.教师在第一课时教学设计中往往在对基本不等式引入和证明后着力展现基本不等式在求最值方面的应用.笔者认为基本不等式从几何和代数两个角度的问题探究方法具有典型性，是难得数学学习探究的好材料.结合学生的认知特点，确定这节课的价值取向是强调本质、再现过程、发展思维和提升能力.为此笔者将本节课的教学目标确立为：

（1）      了解重要不等式的几何背景和代数证明，经历从几何图形抽象出代数结论的过程；

（2）      从不同角度探究基本不等式的证明过程，掌握数形结合思想研究问题的一般策略，体会数学思维的发散性和严谨性，发展学生的问题探究能力及培养探究意识；

（3）      发展学生的数学应用意识，体验数学文化，丰富学生的学习情感体验，提升学生的核心素养.

3 课堂实录

3.1问题情境

图1

    教师：首先我们来看数学家的最高奖项——菲尔茨奖，奖章（图1）正面是阿基米德头像,并用拉丁文写有：“超越人类极限，做宇宙主人”的格言，奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪”. 菲尔茨奖在国际数学家大会上进行颁发，国际数学家大会ICM由国际数学联盟IMU主办，是数学家们为了数学交流、展示、研讨数学的发展国际性会议，是国际数学界的盛会.大会每四年举行一次，首届大会1897年在瑞士苏黎士举行，被誉为数学界的奥林匹克盛会.

    以下是一些举办国家为大会设计的会标（图2），从会标我们不仅感受到浓浓的数学味道， 更感受到不同国家的多元文化.

  

 

 

 

图2

   

教师：2002年北京承办了第24届国际数学家大会，这是中国设计的大会会标（图3），整体图形取自于我国古代第一部数学专著《周髀算经》中的赵爽弦图，颜色的明暗变化很像中国的风车表明主办方的热情好客，大正方形展现中国包容开放的国家形象.

图3

 

3.2合作探究

    问题探究1：这个是我们从会标中得到的基本图形（图4），为了研究方便不妨设直角三角形的两直角边和斜边长分别为 .你能否在这个图案中从面积关系角度找出相等关系或不等关系？

教师：请大家先独立思考，然后同桌相互讨论交流.

图4

生1：由大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积知 ，由此整理可得 .

教师：很好!找到了一个等量关系，即从图形角度证明了勾股定理，这就是赵爽构造此图的真实意图.能得到不等关系吗？

生2：由大正方形的面积大于4个直角三角形面积可得， 即 .

教师：不错，能否用代数方法证明它？

生3：由 得 .

教师：等号的条件是什么？

众生： .

教师：是的，不难发现 即当且仅当 时去等号.上述由因导果的证明方法即为综合法，由证明过程可以将 .这就是今天学习的第一个不等关系即重要不等式.(教师板书并回顾学习的思维路径)

问题探究2：比较任意两个正数 的等差中项 和等比中项 的大小关系？

生4：易知 .显然当 时， ;当 时，即比较 与 大小.

教师：很好.能否先猜测下结果？

众生：大于等于.

教师：这就是今天今天重点学习的一个不等关系即基本不等式.(教师板书)下面请同学们以前后四位同学为一组，先独立思考再小组合作交流，现在开始.

（给予学生充足的思考交流时间，教师巡视关注学生的证明思路和过程并采集相关组的证明方法，整个过程约7分钟）

生5：（某组代表）方法1是作差法可以配方为 得证.方法2是利用重要不等式中 用 代换可得.方法3是构造两个直角边长分别为 的等腰直角三角形，由直角三角形面积之和不小于矩形面积代数化即得（如图5）.

教师：非常好.这组同学用了三种方法，分别是比较法和综合法以及几何构图.下面来看下面这组同学也想到了三种方法，让这组同学谈谈做法.

生6：我们组想到的方法有2种方法和上组一样，但在几何构图上构造了不同的图形.

图6

我们构造了直角三角形，其斜边上高为 ，斜边长为 ，由此 斜边一半，根据半圆的半径不小于半弦长即得 (如图6).

教师：非常棒的一个构图.事实上我们也可以将 与 转化到同一个直角三角形，由斜边和直角边的关系即得基本不等式，这里再次提醒大家等号成立的条件.从数列角度看，基本不等式就是两正数的等差中项不小于它们的等比中项,从均值角度看即为两正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.请注意重要不等式和基本不等式的联系和区别.

教师：现在我们有必要总结下同学们在探究基本不等式所使用的两大基本方法——代数法和几何法（学生齐答），其中代数法主要由作差法和综合法，几何法侧重于不等式的几何背景(模型)，接下来先探究问题3中的大小比较和代数法证明.

问题探究3：当 时试比较 与 的大小关系，用代数方法加以证明并尝试给出几何解释.

(给予充分的时间让学生思考与交流，教师巡视并选取学生中的主要方法)

生7：我想到了作差法 ，但是到了这里我化不下去了.

教师：作差法比较大小的目的是什么？常用的手段有哪些？

众生：判断符号，常用的有配方和因式分解等.

生8：可以提取 后通分再配方即 .

教师：很好！再来看一个不同的证法.

生9：我是先将 变形在利用基本不等式，即 .

教师：很好！综合法求证，主要利用今天刚刚学习的基本不等式来证得新不等式的方法.下面请思考此不等式的几何解释，我们不妨利用刚才生6所提供的几何图形(如图7)能否找到相关长度的线段？（2分钟后学生没有进展）

教师：现在图中已经有了哪些长度的线段？

图7

众生： 等.

教师：既然已有 ，关键就是寻找 表示的线段了.直接好表示吗？

众生：应该不行.

教师：那么应该对 进行转化，直到找到相关的几何意义即可. 由 ，令 ，则 .同学们想到了什么？

众生：哦，射影定理.作     垂线，垂足为，线段即为所求，在 

教师：其实2010年湖北高考出过这个问题.

考题如下：设 ,称 为 的调和平均值数,如图8， 为线段 上的点,且 为 的中点,以 为直径作半圆.过点 作 的垂线垂足为 ,则图中线段 的长度是 的算术平均数,线段______的长度是 的几何平均数, 线段______的长度是 的调和平均数.只不过它已经把这个垂足已经作出来了让大家去寻找 所表示的线段.从均值角度看此不等式可理解为两个正数的几何平均值不小于它们的调和平均值.

3.3课堂小结

教师：好了，下面请同学谈谈对今天这节课学习的收获与感受.

生10：对问题的研究可从代数和几何的角度加以探究即数学结合思想.

教师：不错.我们今天从熟悉的赵爽弦图出发得到重要不等式，进一步得到基本不等式.今天对不等式的求证从代数法求证和几何法构图两条腿走路，体现了数学研究的基本方法.老师从知识结构、思维方法和数学思想角度做了梳理以期对大家有所启发.

3.4作业布置

教师：今天的作业有三个任务.任务一解决一个小题组，任务2请大家研读湖北大学《中学数学》2012年第2期肖建辉老师的论文“解读基本不等式的几何背景”并和组内同学交流研读体会.任务三是一个集体挑战问题，当 时，试比较 与 的大小关系，用代数方法加以证明并尝试给出几何解释.

                                      点评：让探究成为核心素养培养的助推器

华师教育研究院    房涛

    近年来我国对高中课程标准进行了重新修订,提出了高中数学六大核心素养即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、运算能力、数据分析,对它们的内涵、学科价值、教育价值以及表现方面和水平层次进行了准确表述.由此教师首要的是提高数学教育的理论修养，更新教育观念，把培养学生的核心素养成为高中三年课堂教学的总目标；其次教师需要考虑如何在实际课堂教学落实这一全新的学科价值取向并积极开展课堂研究实践.近日笔者在浙江省宁波第二中学调研，观摩了孙鋆老师关于“基本不等式（第一课时）”的公开课，从中获得了一些体会和感想——让探究学习成为学生核心素养培养的助推器.

1精心设计问题链，自主探究成效显

    在以往本节课的教学设计中教师往往在不等式的推导和不等式应用这两大主题采取时间均衡的策略,即教师在引导寻求基本不等式的代数证明和几何背景后大量进行基本不等式在求最值中的应用.

本节课上，孙老师选择了以基本不等式核心知识，关注其中数学研究的思想方法为主线展开学生自主合作探究的课堂教学方式.众所周知,数学学习的载体是数学问题,如何设计高质量的问题链往往决定着学生探究的效度.本课教师设置了三个探究问题,问题链基于学生初中熟悉的赵爽弦图出发引出重要不等式,关注重要不等式的代数证明和几何背景,形成不等式研究的代数法和几何法这一思维主线.通过学生刚刚学习的等差与等比中项大小比较引入基本不等式探究,引导学生从代数和几何方法加以合作探求,让学生经历思维方法的第二次体验.这时教师不急于开展大量的习题训练而是将探究学习进行到底,引出第三次探究活动即比较两个正数的几何平均值和调和平均值的大小,试图将刚才提炼的问题研究方法加以巩固和应用.

三个问题的设置由浅入深环环相扣,问题链的设计充分考虑学生的最近发展区,不断展现思维方法的提炼和应用，较好地体现了思维的螺旋上升，不断为提高学生的逻辑推理、直观想象、运算能力等核心素养提供着一个又一个探究的平台.

2找准学生困难点，引导点拨助波澜

众所周知，探究教学教师应成为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，这无疑给教师的教学能力提出了较高要求.教师何时点拨何处讲解都极大地考验着教师教学基本能力和数学素养.本节课孙老师在问题3的探究活动中及时抓住学生的困难点，如用代数法证明中发现有学生想到了作差比较但在化简 的过程中遇到了阻碍，教师适时点拨作差法目的是为了断号，引导学生回顾断号的常用策略即因式分解、配方等.由此提取公因式 后符号判断一目了然,事实上学生在初中的因式分解训练中强化了整式的公因式提取，对这种类型的公因式提取是较为弱化的.又如对问题3的几何解释是本节课的难点.教师及时给予几何构图的基本模型，即图形？，显然 的几何表示在问题2的探究中已经完成，如何寻找 表示的线段长度对学生而言要求较高.此时孙老师能及时给予点拨有必要将 加以变形为 ，此时几何直观仍不明朗能否和已知的线段 建立联系，由此引导学生进一步转化为 .为了发现此数的几何意义令 ，则 ，此时学生恍然大悟利用射影定理只需过 作 的垂线.教师能抓准学生探究活动中的困难点并给予及时分析点拨，自然地呈现思维的思考过程给予学生以高效的示范对学生思维能力的提高无疑有着很大的帮助.

3民主平等共相伴，热情激发向课外

整节课以学生自主与合作探究为课堂组织方式，较好实现了高效的课堂探究活动.从探究时间上看，问题1探究用时2分钟，问题2和问题3探究分别用时7分钟和8分钟，合计学生探究时间为17分钟，学生对探究活动的成果论述共计16分钟，教师单独讲授7分钟（包括课前引入3分钟），给予学生充分的探究时间和自主表达观点的机会;从探究的氛围上看，孙老师创造了良好的民主平等的探究氛围，让学生积极主动地参与每一次的探究活动，不断鼓励学生积极尝试.面对课堂中学生的疑问及时让学生表达自己的想法，如在由重要不等式通过变量代换推出基本不等式有学生提出质疑，又如在探究3的几何构图中有学生自主想到不同的几何图形等，充分让学生敢于质疑敢于表达，让学生成为学习与思考的主人.这样的课堂教学表面上丧失了大量例题的训练机会，实质上让学生充分体验了数学的发现和创造过程，知识与技能、过程与方法都会转化为后学数学学习的方法支撑而事半功倍.

课后作业由简单的知识运用和研读相关论文并做平方平均值与算术平均值的再探究，从课堂的探究示范延伸到课外的自主探究，既给予文献资料的理论学习又给予实践操作的再体验.

纵观本节课不难发现基本不等式第一课时的教学没有按照传统套路，而是以问题链探究为明线，以学生思维方法的体悟为轴线，以学生数学学习的情感为隐线，让学生在知识层面、思想方法层面、学习策略层面都有颇多的收获.当然我们敢于断言要让学生敢于探究教师必然需要善于研究善于创新的情怀，教师只有不断研究教育教学规律并不断创新教学方法才会体味到教学工作的内在魅力，更不至于让学生核心素养的培养成为一句空话！