巧数图形

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

一、数线段

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。

例1、 数一数，图中有多少条线段？

 

分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：

以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；

以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；

以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；

以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；

以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；

总数为：5+4+3+2+1=15条。

用图示法表示更为直观明了，如右图。

 

想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。由此猜想如下规律（见右图）：

 

……     ……     ……     ……

还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.

②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。

是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。

二、数角

例2、 数一数，图中共有多少个角？

分析与解：通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序数，就会发现：

 

以射线OA为角的一边的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOF共5个；

以射线OB为角的一边的角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个；（不包括已经数过的∠AOB，即数过的不算，下同）

以射线OC为角的一边的角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个；

以射线OD为角的一边的角有：∠DOE，∠DOF共2个；

以射线OE为角的一边的角有：∠EOF 1个.

角的总数：5+4+3+2+1＝15（个）.

数的过程用图示法表示如下：

 

想一想：①由例2可知：由一点引出6条射线，所组成的角的总数为：5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见下图）

由一点引出的两条射线组成1个角：

 

由一点引出的三条射线组成2+1=3个角：

 

由一点引出的四条射线组成3+2+1=6个角：

 

由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10个角：

 

　　……       ……       ……      ……

还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。

②与数线段有类似的地方，即为：如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角，那么角的总数也是从1开始的一串连续自然数之和，而其中最大的自然数等于基本角个数.

注意，例1和例2的情况极其相似。虽然例1是关于线段的，例2是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。

三、数三角形

例3、 数出下面图中三角形的个数。

    

分析与解：仔细观察图形，我们可以发现，图形中所构成的每个三角形，都有两条边是由A点引出的，而第三条边不在线段BC就在线段DE上，并且通过我们去按顺序数，会发现BC和DE上有多少条线段就对应有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。根据例1可知，BC边上的线段有15条，那么，以BC边上的线段作为第三边的三角形就有15个。同理，DE边上的线段也有15条，以DE边上的线段作为第三边的三角形也有15个。

所以，图中共有三角形15×2=30（个）

例4、数出下图中三角形的个数。

  

分析与解：明显地，这个图形不具有例3中三角形的特点，所以例3中的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图所示。

    

明显的，

由1个三角形构成的三角形有6个。

由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）

由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）

所以，此图中共有三角形：6＋2＋4=12（个）

四、数长方形

例5、如下图，数一数各图中包含的长方形个数？

分析与解：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段总条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.

图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条。 BC边上共有线段：2+1（条），把AB边上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.

图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.

知识小结：一般情况下，对于类似图（Ⅲ）的图形中所包含的长方形的个数，我们就可以用外围大长方形中：长边上的线段总条数×宽边上的线段总条数，求得。

五、数正方形

例6、如下图，数一数图中包含的正方形个数？

分析与解：为方便起见,我们把小正方形的边长设为1,则正方形的边长可分别为1、2、3、4、5，我们可以借助分类的思想来数，按大小不同将图形中正方形分为如下几类：

    边长为1的正方形有25个；

    边长为2的正方形组成的正方形有16个；

　  边长为3的正方形组成的正方形有9个；

　　边长为4的正方形组成的正方形有4个；

　　边长为5的正方形组成的正方形有1个；

　　正方形总数：25+16+9+4+1=55个.

例7．在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

 

分析与解：按包含的小块分类计数。

　　包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；

　　包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；

　　包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；

　　包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；

　　包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；

　　包含15小块的有2个。

　　所以共有

　　1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。

 

 

六、练习题

1、数一数下图中共有多少条线段？

    

2、 数一数下图中共有多少个三角形？

    

3、数出下图中锐角的个数。

    

4、数一数下图中一共有多少个长方形？

　

 

5、下图中有多少个正方形？

 

6、 数一数图中有多少个三角形？

 

7、下图中有多少个正方形？