在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

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下面是欧拉线的证明

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如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，
连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，
再连DC、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…②

∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④

由①、③可知DC∥AH，由②、④可知DA∥CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。
∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。

作BC边上的中线AM，连OM、OH；设OH交AM与点G'
∵OM⊥BC，△AHG'∽△MOG'，AH=DC=2OM，
∴AG'=2G'M，因此G'即△ABC重心G。

故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。