超几何分布是概率与统计里面常见的分布，但有许多高中生朋友对这个名称很陌生。其实在高中数学中概率与统计部分涉及到超几何分布的非常多，几乎有50%的题型都和它有关。常见的就是小球的问题，一共有某某个球，有某某个红球和某某个白球，随便拿出几个球等等，类似的问题求期望与方差，大多关系到超几何分布……

    最开始超几何分布是由产品抽样调查引出的，比如有N件产品，其中有M件不合格，现随便抽出n件做检查，发现其中有x件不合格，那么x就服从超几何分布。由于决定该分布的有N、M、n，所以为了简单起见，人们把这样的x服从超几何分布记做x～H(n，M，N)。

    因此，有些老师就根据产品检验的问题编出小球的问题，比如，今有球N个，其中有M个红球，N-M个白球，任意取n个球，一系列的问题就来了，先问问取到1个红球的概率，再问问取到x个红球的概率的公式，后来又让你把x所有可能的情况列个表，最后一个问就是算算期望与方差，当然这里M、N都给的是具体的数据，这样就能方便的算出期望与方差，毕竟数据不只一个，算错的可能性还是比较高的，还是研究研究期望与方差的具体公式吧。今天我要把期望与方差的公式计算出来，省着一个个算，既麻烦有费力……

    首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
    =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
    =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
    =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

    根据题意，如果所得到的次品数(或者说取到红球的个数)为ξ，很容易算出这种情况的概率Pξ=C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}，因为不清楚n与M哪个大，也就是不知道ξ的最大值应该是多少，所以“∑”的上标还须要讨论，如果n＞M，那么，这种情况ξ的最大值是M，如果n≤M，那么，这种情况ξ的最大值是n，可以发现ξ的最大值是min(n，M)，所以，数学期望应该是，

Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}

    =1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}

    =1/C{n，N}*∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*M!/ξ!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M} 

    =1/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M} 

    =M/C{n，N}*∑{ξ=1，min(n，M)}C{ξ-1，M-1}*C{n-ξ，N-M}

其他先不考虑，首先观察一下右面的和式，发现每项都是两个组合数的积，而且两个组合数中所选的数之和都等于n-1，该和式有一定意义，它表示在N个球中拿走一个红球，再在剩下的球中任取n-1个球，看看取到红球的个数有多少种情况，红球的个数可能是0、1、2、…、min(n，M)-1，把以上所有可能的情况数都加到一起，根据分类计数原理，所有的情况数加到一起就等于在N-1个球中任取n-1个球的情况总数，即C{n-1，N-1}

所以，

Eξ=M/C{n，N}*C{n-1，N-1}

    =M*n!*(N-n)!/N!*(N-1)!/(n-1)!/(N-n)!

    =M*n/N

    如果要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，问题就在于E(ξ^2)的计算，根据题意，

E(ξ^2)=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}

当然，有

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=0，min(n，M)}ξ^2*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}－∑{ξ=0，min(n，M)}ξ*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，min(n，M)}ξ*(ξ-1)*C{ξ，M}*C{n-ξ，N-M}/C{n，N}

E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(ξ-1)*M!/(ξ-1)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}

E(ξ^2)－M*n/N=1/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}M!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}

E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}(M-2)!/(ξ-2)!/(M-ξ)!*C{n-ξ，N-M}

E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*∑{ξ=2，min(n，M)}C{ξ-2，M-2}*C{n-ξ，N-M}

同理，观察右边的和式，也同样有一定的意义，它表示先在N个球中拿走2个红球，之后再在其中取n-2个球，计算一下取到红球个数的情况总数之和，同样红球个数可以是0、1、2、…、min(n，M)-2，根据加法原理，这些情况总数就等于在N-2个球中任取n-2个球的情况总数，即C{n-2，N-2}，那么就有，

E(ξ^2)－M*n/N=M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}

E(ξ^2)=M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}

所以，根据方差公式，

Dξ = M*n/N＋M*(M-1)/C{n，N}*C{n-2，N-2}－M^2*n^2/N^2

     = M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n!*(N-n)!*(N-2)!/N!/(n-2)!/(N-n)!

     = M*n/N－M^2*n^2/N^2＋M*(M-1)*n*(n-1)/N/(N-1)

     = M*n(N－M*n)*(N-1)/N^2/(N-1)＋M*N*(M-1)*n*(n-1)/N^2/(N-1)

     =M*n*[(N－M*n)*(N-1)＋N*(M-1)*(n-1)]/N^2/(N-1)

     =M*n*(N^2－N－M*N*n＋M*n＋M*N*n－M*N－n*N＋N)/N^2/(N-1)

     =M*n*(N^2－M*N－n*N＋M*n)/N^2/(N-1)

     =M*n*(N－M)*(N－n)/N^2/(N-1)

    看似方差非常不好记，其实只需记住一部分就可以了，因为超几何分布的极限可以看成是二项分布，如果不合格率是p，合格率是q(p+q=1)，那么p=M/N，q=(N－M)/N，那么超几何分布的方差可以写作n*p*q*(N－n)/(N-1)。当然对于超几何分布，数学期望就等于n*p了，与二项分布非常相似……

    有些人可能迷茫在“∑{ξ=2，min(n，M)}C{ξ-2，M-2}*C{n-ξ，N-M}≡C{n-2，N-2}”上，其实该和式有比较严密的证法，我们可以找到更一般的情况来证明上述恒等式，比如我们知道

(x+1)^a*(x+1)^b=(x+1)^(a+b)

将该等式展开，得

(∑{i=0，a}C{i，a}*x^i)*(∑{j=0，b}C{j，b}*x^j)=∑{k=0，a+b}C{k，a+b}*x^k

比较等式两边x^n的系数，得

∑{l=0，min(a，n)}C{l，a}*C{n-l，b}=C{n，a+b}

恰当的代入参数，就是我们须要的结果……

    以上就是超几何分布的期望与方差的计算过程，网上也能查得到类似的方法，也许会有更简单的办法，就不一一总结了……总之，我们要记住，条条大路通罗马。