几何分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件重复试验中，第x次试验才得到成功的概率分布。说的比较迷茫，严密点儿来讲，就是伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数。伯努利试验就是瑞士的一个数学家提出的一种试验，特点是每次试验成功的概率都是一样的，而且还互不影响，就是所谓的相互独立的重复试验，伯努利就是那个爱做试验的数学家。

    几何分布也分情况，或者说之前失败的次数，或者说第一次成功所做试验的次数，就相差1，因为在成功之前所做的试验都是失败的，求的是这种情况的概率。其实求法都一样，这里只讨论第一次成功所需要试验次数的概率分布。如果还是迷茫就看看常见的几何分布的例子吧，比如，你开车去某个地方，到那里虽然不算远，但须要经过无数的交通岗，而且那天的情况，在每个交通岗遇到绿灯的概率都一样，都是p，而且每个交通岗都没有黄灯，很特殊吧？这样遇到红灯的概率就都是(1-p)，如果那天点子背，开始几个交通岗全是红灯，直到第x个交通岗才第一次见到绿灯。这种情况，对于在第x个交通岗第一次遇到绿灯的概率就服从几何分布。

    跟据例子，可以算得，在第x个交通岗第一次遇到绿灯的概率为(1-p)^(x-1)*p，由于决定该分布的只有p，所以为了简单起见，人们把x服从p的几何分布记做x～G(p)。

    现在的目标是计算几何分布的概率与方差，在网上寻找几何分布的期望和方差到有很多结果，但很难找到它是怎么来的。可能觉得简单而不便介绍吧？今天我把过程写出来，望大家参考。

    首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，根据方差的概念，可知：
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
    =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
    =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
    =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
    下面计算几何分布的学期望，

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p                 ①

当然

(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p

(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p        ②

①－②得

p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

    =∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

    =lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

    =1/p

    若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，

    其中E(ξ^2)的计算过程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p                        ①

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p    ②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p                        ③

③－②得

p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p 

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)                            ④

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)              ⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)              ⑥ 

⑥－⑤得.

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p

         =1/p＋2*(1-p)/p/p

      =(2-p)/p/p

    若求方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2得，.

Dξ =(2-p)/p/p－1/p/p

  =(1-p)/p^2

    以上就是几何分布的期望与方差的证明。涉及到的知识虽然简单，但能解决眼前的困惑，这才是最重要的。