在结构动力分析中，结构动力响应的求解是基于结构中质量系统的动力平衡方程来完成的。基于经典物理定律，下式给出了一个多自由度集中质量系统的动力平衡方程，它是一个关于时间的函数。
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对于结构系统我们更为熟悉的是下面的线性二阶微分方程：
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对于地震作用，上式中外部荷载F(t)=0，则有：
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一、模态分析（Modal
Analysis）
模态分析也被称为阵型叠加法动力分析，是线性结构系统地震分析最常用的方法。模态分析可以为我们提供结构基本性能参数，帮我们对结构响应进行定性的判断，并提供相关结构概念设计需求。模态分析为结构相关静力分析提供相关性能，包括静力地震作用分析及静力风荷载作用分析。模态分析还是其他动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。
1.模态分析的基本理论
一、模态分析中质量源的定义
质量源定义了结构动力分析所需要卡率的结构质量的计算方式。它把程序中的质量和自重两个概念加以清晰的区分并建立相互间可以进行多重定义的联系。中国规范结构动力分析及地震作用计算基于建筑物的重力荷载代表值。重力荷载代表值实际上是给出了一个质量的计算方式，定义了求解地震作用时结构质量的计算方法。
（1）质量和重量
sap2000中结构构件自身的质量和重量计算分别基于材料定义中的密度和重度。定义荷载模式时对DEAD类型的荷载为结构恒载，自重乘数（0～1.0）将一定比例的结构自重作为DEAD工况的荷载施加在结构上。sap2000中质量可由以下几个方面组成：结构构件的质量，荷载通过重力加速度转换的质量，点、线、面对象上指定的附加质量（附加质量与结构自身质量不同，它仅增加结构质量，不产生自重而增加自重荷载，因此对结构静力分析不产生影响）。
（2）质量源的定义
a.来自对象和附加质量：这一方法质量由结构构件体积乘以构件密度产生。外加荷载不会转换为质量。
b.来自荷载：如《抗规》中的重力荷载代表，规定规定自重及附加恒载的系数为1.0；活载的系数为0.5。结构的质量等于组合后的荷载除以重力加速度g而得。
注意：若DEAD工况中自重乘数为1.0时，若同时勾选a，b则导致重复计算自重质量。
二、特征向量法及Ritz向量法
(1)特征向量法:为了解耦动力平衡方程，需要计算方程的特征向量和特征值。特征向量分析方法确定系统的无阻尼自由振动的阵型形状和频率。该法使用的刚度矩阵与静力分析的刚度矩阵是一致的。SAP2000使用了子空间迭代法进行特征向量分析。该法不适合复杂的大型的工程，而且忽略了荷载的空间分布，会有高阶阵型截断带来的误差，精度不高。
(2)Ritz向量法(LDR法):该法考虑了动力荷载的空间分布，因此可以得到更加准确的结果。分析过程中，第一个向量块是来自于结构上荷载模式的静态响应，这就是我们在使用该方法时需要指定初始向量的原因。该法能避免高阶阵型截断带来的误差，精度较高。
三.质量参与系数及荷载参与系数
sap2000可以分别输出模态分析中结构的质量参与系数、静荷载参与系数、动荷载参与系数，它们总体反映了截断高阶阵型与所有阵型精确分析存在的某一类型的误差。《高规》规定“计算阵型数应是阵型参与质量不少于总质量的90%”。为了控制扭转效应的潜在破坏，《高规》还规定了结构扭转响应的上限。即“结构扭转为主的第一周期Tt与结构平动为主的第一周期T1之比，A级高度建筑不应大于0.9；B级高度建筑、混合结构高层建筑、复杂高层建筑不应大于0.85”。为了满足这一条，首先要判断第一平动周期和第一扭转周期，该判断需要用到质量参与系数的概念。
（1）质量参与系数
sap2000对于质量参与系数的计算是基于一个特定方向的单位基底加速度以及由其引起的基底剪力来进行的。对于任何方向的单位基底加速度，精确的基底抵抗剪力必须等于该方向上的所有质量分量之和。因此，质量参与系数定义为该参与质量除以该方向总质量。阵型有效质量系数为阵型对六个整体坐标方向中每个方向加速度荷载响应的计算重要性提供了一种量度，因此它对于确定反应谱分析和地震分析的准确性非常有用。阵型有效质量系数不提供任何除加速度荷载以外的其他荷载时程分析准确性的信息。
如果模态分析工况考虑所有阵型，则结构在每个自由度方向上结构质量参与系数的累积值为100%。对于《高规》规定“计算阵型数应是阵型参与质量不少于总质量的90%”，我们主要看最后一个阵型输出项中的sumUX,sumUY,sumUZ项控制的，该项给出了X,Y,Z三个方向各阵型质量参与系数的累加值。因为对于地震荷载和风荷载作用我们主要关心的是水平方向的响应。因此，如果sumUX,sumUY的累加值大于0.9，就说明该模态分析工况中的阵型数是满足规范要求的。
对于判断某个阵型是平动阵型还是扭转阵型，主要是查看UX,UY,RZ这三项的系数对比关系来确定的，若UX+UY>RZ则说明该阵型为平动阵型，反之为扭转阵型。确定了平动阵型之后，通过对比UX,UY的系数大小来确定是以那个方向平动为主。
如果某一阵型为平动阵型，往往需要我们判断该阵型的平动角，其参数反应了结构地震作用基底剪力的方向角。对此我们亦可以通过质量参与系数来确定。例如，与第一个阵型相关的基底剪力X轴角度θ=arctg[(UX/UY)^1/2]。
（2）静荷载参与系数
中国规范对此无要求，暂不讨论。
（3）动荷载参与系数
它假定动荷载仅作用在有质量的自由度上，基于只考虑惯性力抵抗荷载模式的假设，任何作用在无质量自由度上的荷载矢量分量都不能输出动荷载参与系数，并在分析过程中被忽略。本质上动荷载参与系数是质量参与系数的延伸，因为质量参与系数仅针对加速度类动力荷载对计算所截取阵型数目的要求而言，而动荷载参与系数是针对所有荷载形式。
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(2016-01-24 14:55:19)