客观世界中的事物总存在着许多性质，它们是人们思维着的对象。我们把事物的性质称为事物的属性。不同的事物，有着不同的属性。把具有相同属性的事物归为一类，这是研究事物和对事物进行思维的出发点。

　　事物有本质属性与非本质属性。凡是一类事物所特有的，并以此区别于它类事物的属性，称为此类事物的本质属性，否则为非本质属性。例如，圆的本质属性是“平面内到定点的距离等于定长的点的集合”。而圆的半径长短与圆心的位置都不是圆的本质属性，是非本质属性。

　　数学概念是客观世界中事物的空间形式与数量关系的本质属性在人脑中的反映。它是人们数学思维的基本形式与单位，也可以说是数学思维的“细胞”。

　　数学概念具有质与量两方面的特征。数学概念的质(或称内涵)，它是数学概念所反映的对象的一切本质属性的总和；数学概念的量(或称外延)，它是数学概念所反映的对象的全体。

　　例如，“自然数”概念，它的外延就是指自然数对象的全体，即

N=｛1，2，3，4，5，…｝。

　　自然数概念的内涵就是指自然数概念的本质特征(本质属性)的总和。它有两种表现形式：

　　1．自然数的“基数”内涵：

　　一切非空的、有限的、等价集合的共同特征。

　　2．自然数的“序数”内涵：

　　自然数是满足以下公理的一个非空集合N的元素：

　　(1)“1”∈N，设a′是a的后继数，有

　　∈N，a′≠1；

　　(2)若a，b∈N，有a＝b，则a′=b′；

　　(3)若a′，b′∈N，有

　　

　　(4)论断P对于自然数1为真，如果P对任意自然数a为真，则P对于a′亦真，于是可得论断P对于一切自然数皆真。

　　自然数的序数内涵即自然数的皮亚诺(Peano)公理，是由皮亚诺首先以公理的形式给出的。

　　可以说，数学概念的最大特点是抽象性。正是由于数学概念的抽象性，所以数学概念学习的思维过程也具有抽象性。对于数学概念学习的思维过程，我们从以下面方面来研究：

　　一、数学概念的建构的思维过程

　　数学概念的建构一方面是学生主体与客体的相互作用的过程。这个过程是主体主动的思维活动。它大体上经历了观察、比较、分析、综合、抽象、概括等几个阶段。另一方面是学生主体认知结构的重新组合过程。这个过程是主体的认知结构的“同化”过程。前者是概念的形成建构过程；后者是概念的同化建构过程。

　　1．概念的形成建构过程的分析。

　　数学概念的形成建构过程是对信息的加工过程。它具有图2-8的所示过程。

　　首先，概念形成的建构过程产生于外部环境的信息对学习者主体感觉器官的刺激。这种信息刺激是一个个离散的信息点——外部事物的个别属性。外部环境的信息经由感觉器官形成信息的输入。

　　其次，对感觉输入的信息经由知觉加工，形成一个个整体性的信息块。它实际上是对外界信息的整体性的认识。知觉加工是对信息的组织并实现其意义的过程。它是对信息的接纳与组织加工过程。

　　再次，通过知觉而得到的整体性信息块进行表象转换，形成信息的主体内化物，或称外部信息的类似物。这种主体的内化物是对外界信息的一种主体的形象信息再现。因此，表象过程是信息的转换，并形成内化物再现的过程。

　　最后，学习者主体把由表象而形成的内化物进行加工——抽象概括，形成概念。

　　抽象加工过程见图2-9。

　　现以矩形概念的抽象为例，说明抽象加工过程。它大体上经历以下三个步骤：

　　(1)分离：把数学的特征从具体的信息属性中分离出来。

　　例如，学习者通过感觉、知觉、表象，得到黑板的表象的属性：黑色的、玻璃制成的、表面粗糙的、铅直放置的、有四条边、对边相等、对边平行、对角相等、四个角都是直角、对角线相等、对角线互相平分，等等。分离加工出数学的属性(特征)：有四条边、对边相等、对边平行、对角相等、四个角都是直角、对角线相等、对角线互相平分、铅直放置，等。

　　(2)提纯：把上述的数学特征提出数学概念——矩形的本质特征。

　　提出矩形的本质特征：四条边、对边相等、对边平行、对角线互相平分、对角相等，等。

　　(3)简略：把经提纯后的本质特征简略成足以表征数学概念的充分必要条件。

　　从提纯的数学概念——矩形的本质特征中简略成：有一个角是直角，对边平行、四边形。

　　概括就是把抽象出来的概念推广到同类事物中去的过程。例如，上述的抽象是从黑板这一个别事物中抽象出来，形成矩形概念，事实上它适用于门、窗户、课桌面、书、笔记本等的几何形状上去，使矩形概念成为一类事物的数学抽象结果。

　　通过抽象概括，用语言或文字形成了对这一类事物的本质认识，即形成概念的建构：

　　“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。”

　　还要说明的是，对数学概念的形成这一建构过程的分析，使我们看到，数学概念的形成过程是从特殊到一般，从具体到抽象的过程。从哲学的角度来看，它是从感性认识到理性认识的过程。

　　2．概念的同化建构过程的分析。

　　概念的同化建构过程是新旧概念的相互作用过程，是认知结构的重新组合过程。因此，概念的同化建构必须具有原认知结构这一内部条件和新概念这一待认知加工的外部条件以及学习者的认知心理倾向因素。

　　图2-10是概念同化过程框图。它的主要步骤是：新概念被学习者接受；学习者把新概念与原认知结构中的相应概念进行“联结”；形成新的认知结构。

　　这里关键之点是新概念与原认知结构中的相应概念联结。然而，怎样联结，正像美国当代著名心理学家加涅所说的那样：“怎样去研究像‘联结’这样的一个过程，这是尚无现成答案的一个难题。”(引自：加涅著：《学习的条件》，人民教育出版社，1985年版，P83)

　　不过，同化过程是一个认知结构重组过程得到许多心理学家的共识。例如，学生学习扇形概念之前，就有圆这一认知结构。要同化扇形概念，首先要把圆的概念进行分解：圆有圆心、半径、圆弧等。当扇形纳入圆中时，扇形成为圆的一个部分，它是由两条半径和它所夹的弧所包围成的封闭图形。这样也使得原先的圆的概念产生新的意义，使原认知结构得以重组，形成更新的认知结构。认知心理学家托尔曼的认知理论模式：S-O-R中的“O”实际上就是“联结”的内部机制的代表记号。用这种理论来说明上述同化过程，有

　　这里的扇形与圆概念同化过程中的“联结”点是半径与弧。

　　同化过程是以给新概念下定义的形式给出的。在定义过程中，学习者在认知意义的作用下，在新概念的刺激下，通过对原认知结构中相关概念的检索、提取、分解、新旧联结，最后形成重组，形成新的更高层次的认知结构。

　　二、数学概念系统的建构

　　在数学学习中，除了要对一个个数学概念进行建构外，还要把数学概念组织成一个概念系统，这也是建构数学概念的任务。

　　建立数学概念系统要从概念的内涵、外延上去研究。设A表示数学概念的外延，P(x)表示数学概念的内涵，则有A=｛x|p(x)｝。

　　1．数学概念间的关系。

　　(1)同一关系：即外延相同的概念间的关系。

　　设A=｛x|p₁(x)｝，B=｛x|p₂(x)｝，有

　　

　　(2)交叉关系：若概念A、B有A≠B，且A∩B≠φ，则A、B为交叉关系。

　　(3)并列关系：设A、B为两个数学概念，I为它们的种概念，

　　当A=B，A∩B≠φ时，A与B为相容并列关系；

　　当A∩B=φ时，A与B为不相容并列关系。

　　在不相容并列关系中，又有

　　

　　ii当A∪B=I时，称A、B为矛盾关系。

　　2．对数学概念分类。

　　对数学概念进行分类时应服从以下原则：

　　(1)每一次分类应以同一个标准或条件；

　　(2)分类要做到既完备(不漏)，又纯粹(不重)。

　　设把概念A分成B_i(i=1，2，…，n)，则应

　　

　　(3)分类不能跃级，应分成最邻近的类概念。

　　3．数学概念的限定与概括。

　　数学概念间，有的具有一定关系，而有的则不具有一定关系。例如，“四边形”与“平行四边形”具有一定关系；“四边形”与“函数”就不具有一定关系。我们研究数学概念间的关系，就是要研究具有一定关系的概念。

　　为了建构数学概念系统，我们要对具有一定关系的概念进行限定与概括。

　　所谓概念的限定，就是不断地增加概念的内涵，使概念的处延不断缩小的逻辑思维过程。所谓概念的概括，就是不断减少概念的内涵，使概念的外延不断扩大的逻辑思维过程。

　　设p_i(x)(i=1，2，…，n)为概念的内涵，且由A₁=｛x|p₁(x)｝出发，若存在如下过程：

　　则称这一过程为概念的限定。反之，则称为概念的概括，即

　　例如，A₁=｛四边形｝，A₂＝｛平行四边形｝，A₃=｛矩形｝，A4=｛正方形｝，那么，有

　　这时，有关系

　　因此，概念的限定过程，是使概念外延不断缩小的过程。反之，概念概括过程，是使概念外延不断扩大的过程。

　　利用概念的限定与概括，就可以建构起概念的系统。

　　例如，在上述例子中我们就可建构出四边形的概念系统来：

　　从概念的一个个建构，到概念系统的建构过程，是一系列数学思维活动的过程。其中把概念系统化的过程实际上是一种逻辑思维的过程。因此，建构数学概念及概念系统的过程是对数学材料的加工过程，是认知过程，也是数学思维过程。