所谓数学思维，就是以数学为对象，以数学活动为载体的一种思维。

　　数学思维过程是人脑对信息(有外部信息或内部信息)的加工整合的过程。外部信息指的是数学思维对象，即由现实世界中事物的空间形式和数量关系以及由此而发展出来的各种数学对象。例如数学的概念、命题、公式、法则、定律等形成的数学问题。这些问题主要以语言文字、符号和数学图形的形式给出。内部信息主要指人脑中的认知结构，其中主要的是数学的认知结构组块。信息组块在大脑中以短时记忆或长时记忆形式贮存着。根据大量心理实验得知：对于短时记忆，贮存一个组块的时间为0.5秒，短时记忆的容量为4～5个组块。从短时记忆中提取一个组块的时间为150毫秒。在长时记忆中贮存一个组块需8秒，长时记忆的容量是无限大的，从中提取第一组块需2秒，提取以后的组块要200毫秒。1983年西蒙在来华讲学中给出了以下数据表：

　　另外，数学思维要牵涉到大脑的两个半球。现代科学研究表明，左脑主要负责逻辑思维等，右脑主要负责非逻辑思维(如形象思维、直觉思维、灵感思维等)。左脑思维的共同特征，主要是确定性、严格性、具有一定程度的能行性(即在有限步骤内按确定要求可以完成的性质)。右脑思维的特征，主要有形象性、非逻辑性、无法用语言、符号表达性。因此，有人说，数学左脑思维是一种“收敛思维”，而右脑思维是一种“发散思维”。

　　数学思维既有左脑思维，又有右脑思维。在以往的数学学习中，人们往往只重视左脑思维，即重视数学的抽象、符号化、形式化、逻辑推理和公理化等思维活动，在当今的数学教育观下，我们不仅重视左脑思维，还要重视右脑思维。特别是在当今为培养创造性人才和跨世纪的建设者，更需要提倡左右脑配合的数学思维。

　　二、数学思维的特性

　　数学思维从数学学科的特点出发，在数学学习过程中主要表现为以下特性：

　　1．数学思维的问题性。

　　问题是数学的心脏。它促使数学发现、推动数学的发展。没有问题就不会导致数学的思维。数学思维主要地表现在数学问题解决过程中。希尔伯特说：“正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”(引自：希尔伯特《数学问题》，《数学与文化》，北京大学出版社，1990年版，P191)

　　在数学学习中，数学思维总是从提出问题开始的，并且数学思维贯穿问题解决的始终。关于问题解决，我们将在后面讨论。

　　2．数学思维的概括性。

　　思维的概括性主要表现是通过思维而把抽象出的事物本质特性联合起来，或推广到同类事物中去。数学研究的对象不是客观事物，而是从客观事物中抽象出的事物的空间形式与数量关系。例如，数学思维中的平行四边形，就是从客观世界中形形色色的有关的四边形物体中进行抽象和概括出来的。没有抽象概括，就没有数学概念，也就不存在数学思维。

　　在数学思维中，思维的概括性可以使数学知识活化和推广。“概括就是迁移”。数学思维的概括性具有学习迁移的作用。例如，通过思维的概括，可以使分数的性质很容易地推广到分式上去。

　　3．数学思维的间接性。

　　间接认识事物是思维的一大功能。对非欧几何的认识是思维间接性何在我们地球这个空间中是无法直观地认识的，只有通过数学思维才能接的思维途径而认识它。

　　数学思维的间接性在数学学习过程中经常地出现，并表现出它的威力与作用。当然，数学思维的间接性是要凭借已知的数学知识进行思维才能表现出来的。

　　三、数学语言是数学逻辑思维的载体

　　在数学学习中，数学思维往往借助于数学语言进行。在数学语言中数学符号又是一种重要的形式。它是人工的语言。

　　例如，证明：从两个数的和的平方，减去两个数的差的平方，所得的数等于这两个数的积的4倍。

　　学生思维如下：

　　“因为两个数的和的平方的结果根据乘法公式是等于一个数的平方加上两倍的一个数和另一个数的乘积再加上另一个数的平方，两个数的差的平方的结果根据乘法公式是等于一个数的平方减去两倍的一个数和另一个数的乘积再加上另一个数的平方。于是把这两部分结果进行相减，四个平方的项都消去了，剩下的是两倍的一个数和另一个数的乘积，减去负的两倍的一个数与别一个数的乘积，终于得到四倍的这两个数的乘积了。”

　　如果学生使用数学符号作为思维载体，就成为如下的形式：

　　设两数分别为a，b，

　　则 (a＋b)²=a²＋2ab＋b²，

　　(a-b)²=a²-2ab＋b²

　　于是，(a＋b)²-(a-b)²＝(a²＋2ab＋b²)-(a²-2ab-b²)

　　　　　　　　　　　 =4ab。

　　显然，运用数学符号这种人工语言作为载体可以避免冗长的叙述，并且使思维过程变得简洁、清晰和准确。

　　数学符号作为数学中的特殊语言，它们具有约定性，它们是人们数学活动中的产物。例如，我们常用的四则运算符号：“+”号是十五世纪德国数学家魏德美创造的，在横线上加一竖，表示增加。“-”号也是魏德美创造的，从加号中减去一竖，表示减少。“×”号是十八世纪美国数学家欧德莱最先使用的。它的意思是表示增加的另一种方法，因此把加号斜过来写。“÷”号是十八世纪瑞士人哈纳创造的，所表示的是分解的意思，用一条横线把两个圆点分开。另外，“=”号是十六世纪英国学者列科尔德发明的，他认为世界上再也没有比这两条平行而又相等的线段更相同的了，所以用来表示两个数相等。正因为数学符号是约定俗成的，因此，它们具有通用性，以至于不同国度的数学符号都是相通的。

　　数学符号在数学中的使用一般有如下四种情况：

　　(1)前置法：把数学符号置于数字或字母之前。例如，sinα、tgβ等是把数学符号置于字母之前的。这是前置法。

　　(2)内加法：把数学符号放在两个字母或数字中间。例如，2＋3，a≤b等是把数学符号放在数字或字母之间的。这是内加法。

　　(3)后置法：把数学符号置于数字或字母之后。例如，5！，12％等是把数学符号放在数字或字母之后的。这是后置法。

　　另外，有些数学符号是联合使用的。例如，a≡b(modm)，lgsin

　　数学语言除以上所指出的数字、字母和符号之外，还有大量数学专用的语言。例如，方程、解、根、幂、角、弧度、正弦、余数、除以、除、当且仅当、自然数、有理数等等，不一而足。数学语言在这里是以词的形式出现的。由于词的多样性，因而用词来表达的数学语言在使用中必须注意以下三点。

　　(1)一字多义：例如，“方程的解”与“不等式的解”中的“解”，其涵义不同，方程的解一般指有限个离散的值，而不等式的解则指一个连续的区间。

　　(2)异词同义：例如，“a的平方”、“a的自乘”、“a的二次方”是同一意义。又如，“自然数”、“正整数”是同一意义。

　　(3)词义相近或易混淆的词：例如，“扩大”与“增加”、“增加了”与“增加到”、“除”与“除以”等。

　　数学语言作为数学信息的载体，数学学习过程实际上是通过数学语言这一载体，把教师或书本上的数学信息传输给学生。从信息论的观点看，当数学语言作为贮存信息的时候，叫做符号，当它处于传递信息的时候，叫做信号。换句话说，数学语言既可以是数学信息的符号，又可以是数学信息的信号。从数学学习过程来看，数学语言则成为学习接受数学信息的信号。

　　数学学习首先接触到数学语言。数学语言是数学逻辑思维的外衣和工具。掌握数学语言，首先必须认识数学语言的特点：

　　1．数学语言的简练性。

　　数学语言的简练性主要表现在用词量上的少和质上的精。数学语言不同于文学语言。文学语言有描写、比喻、夸张等写法，而数学语言则要求文字上少而精。如数学语言上常见“有且仅有”、“当且仅当”、“若……，则……”等都是再精练不过的词了。

　　又如“同一平面内，两条不相交的直线，称为平行线”，如果对它再加上一些文字就显得多余，而去掉一两个字则不可。

　　2．数学语言的准确性。

　　数学语言的准确性表示用词涵义的确定性和不容含混。例如，直线与圆“相切”、“相交”、“相离”表达直线与圆有一个交点、两个交点和没有交点的关系。又如，“连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，称为三角形的一条中线。”这里的线段准确定义了三角形的中线。有人说：“二面角是有着一条公共棱的两个半平面，称为二面角”，这一说法就不够准确，应该是“从一条直线发出的两个半平面所组成的图形，称为二面角。”

　　另外，我们不能用“除”去代替“除以”，不能用“消去”去代替“约去”。a除以b，是指a被b除；而a除b，是指b被a除。“消去”用在多项式加减运算中，一些项互相抵消；“约去”则是用在除法运算中，除式与被除式中不为零的相同因式可以约去。

　　3．数学语言的严谨性。

　　数学语言的严谨性指的是符合科学。这是由于数学的逻辑严谨性所决定的。例如，学生把对顶角说成“顶点对在一起的两个角”、把异面直线说成“在不同的平面上的两条直线”等都是不严谨的。

　　4．数学语言可以符号化。

　　数学语言可以符号化这是数学语言的一个特点。例如，“对于任意的”可以用符号：“ ”表示；“存在”可以用符号：“ ”，“极限过程”可以用符号：“lim”表示等等。例如，关于函数f(x)，当x趋向于a时的极限的定义，用数学语言描述成：

　　“如果对于每一个预先给定的正数ε，总存在着一个正数δ，使得对于适合不等式｜x-a｜＜δ的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式

｜f(x)-A｜＜ε

　　成立，则常数A称为函数y＝f(x)当x→a时的极限。

　　把函数y＝f(x)的上述极限定义的数学语言可以改为用数学符号表达：

　　Vε＞0， δ＞0，当｜x-a｜＜δ时，有

　　正是因为数学语言有时可以用符号表示，一方面可以使数学语言表达得更加精练，另一方面又使数学更加符号化——从而也更加抽象化和形式化。

　　数学语言符号化可以大大缩短语言表达的长度。函数极限的定义就是一例。

　　5．数学语言使用变元。

　　数学语言中的变元(即变量)常用x，y，z等表示。一般说来，作为数学变元都是取自于某一集合，即它是某一集合的任一元素。而该集合称为变元的定义域或值域。

　　由于数学中变元的使用，给数学带来了生机。没有变元的引入，数学就不会从常量数学走向变量数学。

　　数学语言既然具有以上这些特点，作为数学学习就应该遵循这些特点。中学生的数学学习效率的高低、成绩的好坏，理解与掌握数学语言是一个先决条件。事实上，无论是阅读数学课本，还是听教师讲课，以至于完成数学作业等，首要的问题是用数学语言表达问题。特别是低年级学生或数学学习成绩较差的学生，他们的数学语言掌握是不好的。常见于他们的作业上，即便会解、会证某一数学题，但由于数学语言表达能力差，叙述得或语句冗长，或不合科学性(即不准确、含混不清等)，总之，是没有按数学语言特点来表达。可见，在数学学习中，理解、掌握和运用数学语言是发展数学思维的头一关。对于这一点，必须从思想上重视、在学习过程中注意培养。