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(2024-11-14 14:14:22)
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阅读：《高等几何》(梅向明等著)
最近在读《高等几何》(梅向明等著)一书，书里包括仿射几何、射影几何、几何公理体系等内容，特别是包括了帕斯卡定理的一般证明方法（用射影几何的方法），感兴趣的朋友不妨找来一读。
射影几何学是一个美不胜收的数学分支。首先我们看帕斯卡定理：圆锥曲线上的六个点 与 交于 ， 与 交于 ， 与 交于 ，则 共线。如果用传统的综合几何的方法，或者即使是解析几何，那么就算在圆的情况下，这个定理也不甚好证。更要命的是，这个定理涉及的情况太多了，比如这里说的圆锥曲线可能是椭圆、抛物线或者双曲线，六个点的顺序可能多种多样，再有可能出现某两点合并为一点的情况。要对以上各种情况逐一证明，纵然不超出普通人的能力，也超出了普通人的耐心。然而，在射影几何的情况下，以上所有情况都可以纳入到统一的证明过程中去，至简至奇，真是数学之美的最好例证。
其中图（3）中的绿色线是过重复点
的直线，即切线。以上三图，即使对于椭圆来说，也远远没有穷尽这个定理的全部情况。
从上面的介绍还可以看出一点：即使是只给出圆锥曲线上的五个点而没有给出整条曲线，我们也可以做出该曲线过已知点的切线。
第二个例子是关于极点、极线的。有的书上这样定义极点极线：过一点 向圆锥曲线作任意割线，再过割线与圆锥曲线的交点作切线，每两条这样的切线有一个交点，这些交点的轨迹称为点 的极线，点 称为该极线的极点。而另外一些书上却是用调和比或完全四边形定义的。而奇妙的是，这两种定义方法是等效的。下面的图中， , 是两组切线的交点， , 是同样点上两组割线的交点，显然 和 是一条直线。
绿线是切线，红线是与点 对应的极线
另外，我们已知二次曲线
上点
而切线与切点恰是一对极线极点。我们高兴地看到，任意点
最后，我们看一个简单点的例子。我们知道，对椭圆和抛物线来说，如果给定曲线外一点，总可以作两条切线。但是在双曲线的情况下，却有可能无法做出切线或者是只能做一条切线。前者是所给点为双曲线中心的情况，后者是所给点在渐近线但非中心的情况。另一方面，直线如果和椭圆相交，一定会有两个切点，而如果和双曲线、抛物线相交，则可能只有一个交点：当直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行时。
但是在射影几何看来，以上各种情况没有任何区别，以双曲线切线为例，从一般的曲线外点，固然可以做出两条切线，而当点在渐近线上时，可以认为渐近线本身就是一条切线，切点位于无穷远处。对割线的情况，如果直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行，则一个交点是普通点，另一个交点是无穷远点。就是一个简单的“无穷远点”的引入，全部结论和谐统一。
应该说，射影几何的观点比较是比较难懂的，要学会学好，必须做到两点：一是要保持开放的心态，不能始终停留在原来的境界；二是要做一定数量的习题，达到熟能生巧的程度。另外一个启示就是，虽然数学是美的，但是如果你不付出一定的辛苦，就无法体会到，而你学得越是深入，就越能领会到其中的简洁、奇妙、统一、严谨。
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