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(2024-03-25 13:54:51)
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为什么复数不能比较大小
复数z不能比较大小的原因在于，复数集不构成一个有序域Q，即无法定义一个全序关系，使得这个关系在加法和乘法下保持一致性。在数学中，有序域是指可以定义一种大小关系（即序关系），使得对于任意两个数a和b，满足以下两个条件：
如果a>b，则对于任意实数c，都有a+c>b+c（加法保序性）。
如果a>b且c>0，则ac>bc（乘法保序性）。
对于整数集和实数集，这两个条件显然是满足的，因此整数和实数都可以比较大小。然而，对于复数集，情况就不同了。
复数是实数的扩充，并且引入了虚数单位“i”，我们可以把复数域看作二维数，但是无论我们如何定义，都无法使复数满足有序域的两个条件。
例如，如果我们尝试定义i（虚数单位）和0的大小关系，就会遇到矛盾。因为如果i>0，那么根据乘法保序性，i^2应该大于0^2，即-1>0，这是不可能的。同样地，如果i<0，那么-i>0，同样会导致矛盾。假设i=0
，那就没得玩了！因此，复数集无法满足上述两个条件，从而不能构成一个有序域，因此复数之间不能比较大小。
连虚数单位“i”和“0”的大小都无法比较，那么更不用谈复数之间的比较了。
尽管如此，复数有其内部的排序方式，例如可以通过字典排序法对复平面上的点进行排序，但这并不意味着复数之间可以比较大小。此外，复数的模（即复数到原点的距离）是一个实数，因此复数的模可以比较大小。
从几何上我们可以理解为，所有实数可以从左到右依次进行排列，因为实数是一维的；但是二维复数无法进行依次排列，
因为二维数的复杂程度本就高于一维数，我们无法在一维当中把二维元素一一排列出来。
任何数对（包括向量）都不能在通常意义下比较大小。但是，复数集合却包含实数集合，因为只需要在复数中令虚数i前面的系数为0就可以了。
集合可分为有序集与无序集两类。
如果存在一种规则，可以对集合里的元素进行排队，集合里每一个元素都可以找到它的位置，并且不可以有两个或两个以上的元素占据同一个位置，这种集合称为有序集。在有序集里，我们可以定义元素的大小关系，从而可以比较元素的大小。自然数集、有理数集、实数集都是有序集。
不是有序集的集合称为无序集，在无序集里是无法定义元素的大小的，当然将不能比较元素的大小了。复数集、平面点集、空间点集、向量集等等都是无序集，在这些集合里是没有大小的。
注意，复数的模、向量的模是可以比较大小的，因为它们是实数，复数模的大小与复数的大小不是一回事！
虚部相同的复数能否比较大小？不能！
虚部相同的复数不能比较大小。复数作为一个数域没有规定大小比较，也就是说，复数域不可能是一个有序域，它的域结构和任意序结构都不相容。只有当虚部都是0时，才能退化为两个实数比较大小。虚数只能从模上比较大小，模就代表点到原点的距离，也就是实部和虚部的平方和。但是这样的序关系与复数的运算不兼容，所以复数域无法构成有序域。
不可以，也可以。
不可以是因为复数作为一个数域没有规定大小比较。
可以是因为如果你能按照二元有序关系的规则定义出大于，那就可以比。只是，这种关系在复数集上确确实实地能构成一个偏序关系，但我们打算用它来做什么呢？哈。
不过我觉得数学家们一定找过了，没找到。毕竟这个二元关系要对所有复数对有定义，如果只对部分复数对有定义，那没意义。
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