我们对信号进行频率分析时常用到的一个评价指标就是信号的功率谱密度函数，那么我们知道功率谱密度函数的自变量可以以频率f来表示，亦可以用圆频率w来表示，那么两种表示方法之间有什么量的关系呢？我们有时候容易弄混，本文笔者以最简单的限带白噪声信号为例，说明两者之间的转换关系。

  设该白噪声的频率范围为0Hz-1Hz，即w的范围为0-2Pi，且设该白噪声信号为位移信号的功率谱密度函数。那么该信号可以用两个函数来描述，一个是以f为自变量的S1（f），一个是以w为自变量的S2（w）。取其中一个频率点w0和f0，它们代表同一个频率，即w0=2*pi*f0；大家注意：最容易犯的错误出现了：S1（f0）=S2（w0）。

你觉得同一频率处对应的功率谱密度值应该相同，其实这是错误的。要知道在功率谱密度的表达式中你计算出来的仅仅是函数值，并没有体现量纲。没错，同一频率处的功率谱密度相同，但在不同的量纲体系中，它们的值是不相等的。那我们就来看下两个函数的量纲分别是什么，看量纲的话我们从积分的角度看容易一些，我们知道功率谱密度图上曲线与横轴包围的面积相当于该信号在该带宽上的功率，即所测物理量的平方。对于S1（f），其函数值的量纲为m^2/Hz,而对于S2（w），其函数值的量纲为m^2/(rad/s),而我们知道1Hz=（2*pi）rad/s。所以在某频率点正确的表示为：S1（f0）m^2/Hz=S2(w0)m^2/(rad/s)=2*pi*S2(w0)m^2/Hz,即：S1（f0）=2*pi*S2(w0)。

   结束了！最后做个小测验：某信号的功率谱密度函数为S（w）=w^2,那么其功率谱密度函数写成用f的表达式该怎么写？

答案：S2（f）=2*pi*S（2*pi*f）=8*pi^3*f^2.

希望大家都做对了！