2.3.2 补码乘法 　　　　　　　　　　file:///I:/Images/Home07.gif

1.补码与真值得转换公式

　　补码乘法因符号位参与运算,可以完成补码数的“直接”乘法,而不需要求补级。这种直接的

方法排除了较慢的对2求补操作,因而大大加速了乘法过程。

　　首先说明与直接的补码乘法相联系数学特征。对于计算补码数的数值来说,一种较好的表示

方法是使补码的位置数由一个带负权的符号和带正权的系数。今考虑一个定点补码整数

[N]_补＝a_na_n－1…a₁a₀,这里a_n是符号位。根据[N]_补的符号,补码数[N]_补和真值N的关系

可以表示成：

N＝	file:///I:/Chap02/Images/dakuohao.gif	n－1 ＋  ∑ai2i　　　　　　当an ＝ 0([N]补为正)时 　  i＝0
		n-1 －  [1＋∑(1－ai)2i]　当an ＝ 1([N]补为负)时 　　　    i＝0

　　如果我们把负权因数－2ⁿ强加到符号位a_n上,那么就可以把上述方程组中的两个位置

表达式合并成下面的统一形式：

file:///I:/Chap02/Images/2.3.2.29.gif

(2.29)

[例19] 已知: [N₁]_补 ＝ (01101)₂,[N₂]_补＝(10011)₂,求[N₁]_补,[N₂]_补具有的数值。

[解:]

[N₁]_补＝(01101)₂ 具有的数值为：

N₁＝－0×2⁴＋1×2³＋1×2²＋0×2¹＋1×2⁰＝(＋13)₁₀

[N₂]_补＝(10011)₂ 具有的数值为：

N₂＝－1×2⁴＋0×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰＝(－13)₁₀

2.一般化的全加器形式

常规的一位全加器可假定它的3个输入和2个输出都是正权。这种加法器通过把正权或负权加到输入/输出端,可以归纳出四类加法单元。如右表，0类全加器没有负权输入；1类全加器有1个负权输入和2个正权输入；依次类推。 对0类、3类全加器而言有： 　　　　S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZ 　　　　C＝XY＋YZ＋ZX 对1类、2类全加器,则有 　　　　S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZ 　　　　C＝XY＋XZ＋YZ

表2.3 四类一般化全加器的名称和逻辑符号 类型 逻辑符号 操作 0类 加法器 file:///I:/Chap02/Images/b2.5a.gif 　　X 　　Y ＋) Z 　　CS 1类 加法器 file:///I:/Chap02/Images/b2.5b.gif 　　 X 　　 Y ＋)－Z 　C(－S) 2类 加法器 file:///I:/Chap02/Images/b2.5c.gif 　　－X 　　－Y ＋)　 Z 　(－C)S 3类 加法器 file:///I:/Chap02/Images/b2.5d.gif 　　 －X 　　 －Y ＋)　－Z (－C)(－S)

　　注意,0类和3类全加器是用同一对逻辑方程来表征的,它和普通的一位全加器(0类)是一致

的。这是因为3类全加器可以简单地把0类全加器的所有输入输出值全部反向来得到,反之亦然。

1类和2类全加器之间也能建立类似的关系。由于逻辑表达式具有两级与一或形式,可以用

“与或非”门来实现,延迟时间为2T。

  表2.4  描述四类一般化全加器的真值表

全加器	带权输入	带权输出
0类     3类	X       Y       Z          -X      -Y      -Z	C     S     -C    -S
真     值     表	0       0       0     0       0       1     0       1       0     0       1       1     1       0       0     1       0       1       1       1       0     1       1       1	0     0      0     1      0     1      1     0      0     1      1     0      1     0      1     1
1类     2类	X       Y       Z          -X      -Y      -Z	C     S     -C    -S
真 值 表	0       0       0     0       0       1      0       1       0     0       1       1     1       0       0     1       0       1       1       1       0     1       1       1	0     0      0     1      1     1      0     0      1     1      0     0      1     0      1     1

　

3.直接补码阵列乘法器

　　利用混合型的全加器就可以构成直接补码数阵列乘法器。设被乘数A和乘数B是两个5位的二

进制补码数,即

A＝(a₄)a₃a₂a₁a₀

B＝(b₄)a₃a₂a₁a₀

　　它们具有带负权的符号位a₄和b₄,并用括号标注。如果我们用括号来标注负的被加项,例如

(a_ib_J),那么A和B相乘过程中所包含的操作步骤如下面矩阵所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a₄)　　a₃　　a₂　　a₁　　a₀　　＝A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　×) (b4) 　　b3　 　b2　　b1　　b0　　＝B　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (a₄b₀)　a₃b₀a₁b₀　a₁b₀　a₀b₀
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a₄b₁) 　a₃b₁ 　a2b₁a₁b₁　a₀b₁
　　　　　　　　　　　　　　 (a₄b₂)　a₃b₂　　a2b₂ a₁b₂　a₀b₂
　　　　　　　　　　　(a₄b₃)　a₃b₃ 　a2b₃　　a₁b₃ 　a₀b₃
　＋)　　　　　　a4b4　(a3b4)　(a2b4)　(a1b4)　(a0b4)　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　p₉ 　 p₈　　 p₇　　 p₆　　 p5　 p₄　　p₃　p2　　 p₁　 p₀　　＝P

 

 

 

　　5位乘5位的直接补码阵列乘法器逻辑原理演示file:///I:/Images/cai.jpg

　　其中使用不同的逻辑符号来代表0类、1类、2类、3类全加器。2类和1类全加器具有同样的结

构,但是使用不同的逻辑符号可使乘法阵列的线路图容易理解。

　　在n位乘n位的一般情况下,该乘法器需要(n－2)²个0类全加器,(n－2)个1类全加器,(2n－3)

个2类全加器,1个3类全加器,总共是n(n－1)个全加器。 故所需的总乘法时间是：

　　　　　　　　t_p=Ta+2(n-1)Tf=2T+(2n-2)2T=(4n-2)T　　　　　　　　　　　　　(2.31)

[例20] 设[A]_补＝(01101)₂,[B]_补＝(11011)₂,求[A×B]_补＝?

[解:]

　　　　　　　　　　　　　　　(0) 1　1　0　1 ＝ ＋ 13
　　　　　　　　　×)　　　　 (1) 1　0　1　1 ＝ － 5 　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　(0) 1　1　0　1
　　　　　　　　　　　　　 (0) 1　1　0　1
　　　　　　　　　　　　(0) 0　0　0　0
　　　　　　　　　　 (0) 1　1　0　1
　　　　　　　　　 0 (1)(1)(0)(1)　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　 0 (1) 0　1　1　1　1　1　1
　　　　　　　　　(1) 1　0　1　1　1　1　1　1 ＝ － 65
　　　   file:///I:/Chap02/Images/chengfa5.gif

验证：
　　　　　－1×2⁷＋0×2⁶＋1×2⁵＋1×2⁴＋1×2³＋1×2²＋1×2¹＋1×2⁰
　　　　＝－128＋(32＋16＋8＋4＋2＋1)
　　　　＝－65

　　　　　(13)×(－5)＝－65

　　　file:///I:/Images/Top.gif