初中代数题选解.84

 

问题：将两个连续的三位自然数连写成一个六位数，恰好为

          一个完全平方数。（例如 183184 = 428² ）

    求: 所有的这些三位数。

 

解题思路：

1、    设a、b为两个三位自然数，则按题意有：

               a² = 1000b + b +1

                 ∴  a² – 1 = 1001b

           且  1001= 7 × 11 × 13

 

2、最小的两个连续三位自然数是100101

   其平方根约为316.39

   又，最大的两个连续三位自然数是998999

   其平方根约为999.5

    ∴ 316 < a < 999

 

3、据上可得：

(a-1)(a+1) = 7 × 11 × 13b

∵ 316 < a < 999

∴  a-1 和 a+1 也是两个三位自然数。

且由于7、11、13是 三个质数，

所以a-1 和 a+1两者中至少有一个是7×11的倍数、或7×13的倍数或11×13的倍数。

 

3、 首先考虑a-1 和 a+1两者中至少有一个是7×11的倍数，且

    大于316小于999,  这时的另一个必须是13的倍数。

3.1、7×11=77其倍数为三位自然数，且大

    于316、小于999者仅有以下8个：

    77×5 = 385、77×6 = 462、 77×7 = 539、 77×8 = 616、

77×9 = 693、77×10 = 770、77×11 = 847、77×12 = 924

 

3.2.1 如果a-1=385或a+1=385，则a=386或a=384

         当a=386时，a-1=385，a+1=387

            (a-1)(a+1)= 385×387 而387不是13的整倍数，

        所以舍弃；

当a=384时，a-1=383，a+1=385

            (a-1)(a+1)= 383×385 而383不是13的整倍数，

         所以舍弃；

  ∴ a+1 ≠ 385 或者 a-1 ≠ 385

同理:a+1 ≠ 462 或者 a-1 ≠ 462

a+1 ≠ 539 或者 a-1 ≠ 539

a+1 ≠ 616 或者 a-1 ≠ 616

a+1 ≠ 693 或者 a-1 ≠ 693

a+1 ≠ 770 或者 a-1 ≠ 770

a+1 ≠ 924 或者 a-1 ≠ 924

 

3.2.2 如果a-1=847或a+1=847，则a=848或a=846

          当a=848时，a-1=847，a+1=849

               (a-1)(a+1)= 847×849 而849不是13的整倍数，

            所以舍弃；

   当a=846时，a-1=845，a+1=847

              (a-1)(a+1)= 845×847 且845=65×13

 ∴ (a-1)(a+1)= 65×13×77×11

∴  b=65×11=715

∴  846² = 715716        (解.1)

 

4、 再考虑a-1 和 a+1两者中至少有一个是7╳13的倍数：且大

    于316小于999,这时的另一个必须是11的倍数。

4.1、7×13=91其倍数为三位自然数，且大于316、小

    于999者仅有以下7个：

        91×4 = 364、91×5 = 455、 91×6 = 546、

    91×7 = 637、91×8 = 728、91×9 = 819、

    91×10 = 910

 

4.2.1如果a-1=364或a+1=364，则a=365或a=363

         当a=365时，a-1=364，a+1=366

          (a-1)(a+1)= 364×366 而366不是11的整倍数，

          所以舍弃；

当a=363=11×33时，

a-1和a+1都不可能是11的整倍数，所以舍弃；

  ∴ a+1 ≠ 364 或者 a-1 ≠ 364

同理:a+1 ≠ 455 或者 a-1 ≠ 455

a+1 ≠ 546 或者 a-1 ≠ 546

a+1 ≠ 637 或者 a-1 ≠ 637

a+1 ≠ 819 或者 a-1 ≠ 819

a+1 ≠ 910 或者 a-1 ≠ 910

 

4.2.2 如果a-1=728或a+1=728，则a=729或a=727

          当a=729时，a-1=728，a+1=730

             (a-1)(a+1)= 728×730 而730不是11的整倍数，

         所以舍弃；

   当a=727时，a-1=726，a+1=728

             (a-1)(a+1)= 726×728 且726=11×66

∴ (a-1)(a+1)= 66×11×91×8

∴  b=66×8=528

∴  727² = 528529        (解.2)

 

5、 最后考虑a-1 和 a+1两者中至少有一个是11×13的倍

   数,且大于316、小于999,   这时的另一个必须

   是7的倍数。

5.1、11×13=143其倍数为三位自然数，且大于316、小

    于999者仅有以下4个：

        143×3 = 429、143×4 = 572、 143×5 = 715、

   143×6 = 858

 

5.2.1如果a-1=429或a+1=429，则a=430或a=428

        当a=430时，a-1=427，a+1=429

           (a-1)(a+1)= 427×429 而429不是7的整倍数，

         所以舍弃；

当a=428, a-1=427，a+1=429

           (a-1)(a+1)= 427×429 且427=61×7

∴ (a-1)(a+1)= 61×7×11×13×3

∴  b=61×3=183

∴  428² = 183184        (解.3)

 

5.2.2如果a-1=572或a+1=572，则a=573或a=571

         当a=573时，a-1=572，a+1=574

           (a-1)(a+1)= 572×574 而574=82×7

∴ (a-1)(a+1)= 4×11×13×7×82

∴  b=4×82=328

∴  573² = 328329        (解.4)

 

5.2.3 如果a-1=715或a+1=715，则a=716或a=714

         当a=716时，a-1=715，a+1=717

           (a-1)(a+1)= 715×717 而717不是7的整倍数，

        所以舍弃；

当a=714=7×102时，

a-1和a+1都不可能是7的整倍数，

   所以舍弃；

∴ a+1 ≠ 715 或者 a-1 ≠ 715

    同理 a+1 ≠ 858 或者 a-1 ≠ 860

 

6、结论：本题有且只有四个解：

  846² = 715716        

727² = 528529       

428² = 183184     

573² = 328329    

 

 

附录：一、陈子初中数学题库 

 

初中几何

一、初中几何题集.1 (第1题---第20题)

二、初中几何题集.2 (第21题---第40题)

三、初中几何题集.3(第41题---第60题)

四、初中几何题集.4(第61题---第80题)

五、初中几何题集.5(第81题---第100题)

六、初中几何题集.6(第101题---第120题)

七、初中几何题集.7(第121题---第140题)

八、初中几何题选解.141

九、初中几何题选解.142

十、初中几何题选解.143

十一、初中几何题选解.144

十二、初中几何题选解.145

十三、初中几何题选解.146

十四、初中几何题选解.147

十五、初中几何题选解.148

十六、初中几何题选解.149

十七、初中几何题选解.150

十八、初中几何题选解.151

初中代数

一、初中代数题集.1(第1题---第20题)

二、初中代数题集.2(第21题---第40题)

三、初中代数题集.3(第41题---第60题)

四、初中代数题集.4(第61题---第80题)

五、初中代数题选解.81

六、初中代数题选解.82

七、初中代数题选解.83

三角函数

一、三角函数习题集.1 (第1题---第20题)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

二、EnglishOriginal by Chencius.Sino

 

1. Medicine Does Have Somewhat Toxicity !

2. TCM's Scientificity Without Any Question!

3. The Last Invalid Tricks(Flirt with Science.1)

4. The Last Invalid Tricks(Flirt with Science.2)

5. Impurity Isn't A Big Issue（1.Introduction）

6.Great Wisdom,the Homology of Medicine and Food

7. No Matter, A Few Impurities.1 No Matter, A Few Impurities.2

8. Useless Tricks(1、Obsolete）

9. Oh,My God, Where's the Top Reward ?!

10. Only the Unscrupulous Mutilating Our TCM!

11. Debate Living.1

12. Debate Living.2

13. Uncertainty Principle about Dad

14．Sayings by Chencius.Sino (1.Luxun&TCM)

15. Sayings.by.Chencius.Sino(2.Compulsory.for.National.Scum)

16. Sayings.by.Chencius.Sino(3.Don't.Play.As.Something Tender Or.Stupid)

17. Sayings.by.Chencius.Sino(4.Abraham.Lincoln)

18. Sayings.by.Chencius.Sino(5.Never.To.Be.A.Fool)

19. Sayings by Chencius Sino(6.Gas From Apex Linquae)

20. Sayings by Chencius Sino(7.The Integrity Of Life)

21. Sayings by Chencius Sino(8.Hyperglycemia Or Superprofit)

22. Sayings by Chencius Sino(9.Inherit & Develop)

23. Sayings by Chencius Sino(10.TCM Getting Strong On Its Own Initiative)

24. Sayings by Chencius Sino(11.Laughs From Hell)

25. Sayings by Chencius Sino(12.Identify Stupid Doctors)

26. Sayings by Chencius Sino(13.Tragedy Of Medicine)

27.Sayings by Chencius Sino(14.Indispensable National  Feelings )

28. Sayings by Chencius Sino(15.Never Be A Fraud)

29. Sayings by Chencius Sino(16.Stranger DNA)

30. Sayings by Chencius Sino(17.Don't Be Bungler)

31. All Solutions to Olympic Mathematics Problem in Primiry Schools(1)

32. All Solutions to Olympic Mathematics Problem in Primiry Schools(2)

33. Time and its Angles