三角函数题选解.7

问题：如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，

DF⊥BC于F，

 求： AE/BF = AC³/BC³      

解题思路一：

1、    ∵ ∠ACB=90⁰，

   CD⊥AB

∴ AC² = AD•AB

   BC² = BD•AB

AC²/BC² =(AD•AB)/( BD•AB) =AD/BD

AC⁴/BC⁴ = AD²/BD²

2、 ∵ CD⊥AB

       DE⊥AC

∴ AD² = AE•AC

3、  ∵ CD⊥AB

        DF⊥BC

∴ BD² =BF•BC

AD²/BD² =(AE•AC)/(BF•BC)

∴ AC⁴/BC⁴ = (AE•AC)/(BF•BC)

∴ AE/BF = AC³/BC³ 

解题思路二：

设 ∠ABC=b, 则：

   ∠CDF=∠DCE=∠ADE=b

   ∴ AC/BC = tanb,同时还有：

AE/DE = tanb

      DE/CE = tanb

      CE/BF = tanb

   ∴ (AE/DE)(DE/CE)(CE/BF) = tanb³

      AE/BF = tanb³

∴ AE/BF = AC³/BC³ 

解题思路三：

    设 AC/BC=k,则有：

    AE/DE =k

   DF/FB=k

   DE/DF=k

   ∴ DE=AE/k

      DF=k•FB

   ∴ (AE/k)/( k•FB)=k

      AE/BF=k³

∴ AE/BF = AC³/BC³