关于函数方程fⁿ(x)=u(x)

肖卿灿

Qing Can Xiao

广州大学数学与信息科学学院，广州，中国，510006

School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou, P.R. China

qcxiao@21cn.com

摘  要 本文借助计算机巧妙地解决了困惑数学奥林匹克及中数研究数十截的函数方程难题.

关键词 无穷级数；函数方程；逼近；无穷小量；数学实验

设x为实数，孰知，函数方程f(f(x))= x²有解 ，对于函数方程

                                         f(f(x))= x²+2                                  (1)

是否有解f(x)，这个问题困惑了数学奥林匹克及中数研究数十截. 为此我们先考查

       g(x)=(x^2+2)^(SQRT(2)/2) , g(g(x))=[(x^2+2)^SQRT(2)+2]^(SQRT(2)/2)               (2)

                               lim [x^2+2-g(g(x))]=0.                                   (3) 
                               x→∞ 
当|x|≥6355时，|f(f(x))-g(g(x))|<0.001，收敛速度太慢，不适用.  接着我们考查

    φ(x)= g(x) - 1/g(x)+ 0.82/(g(x))^2 - 0.45/(g(x))^3 - 0.55855905560915/(g(x))^4      (4)

我们发现：x∈R时

|f(f(x))-φ(φ(x))|<0.0089 ,   φ( φ(0))=f(f(0))=2

当|x|≥22时，|f(f(x))- φ( φ(x))|<0.001；当|x|≥78时，|f(f(x))- φ( φ(x))|<0.0001；

当|x|≥880时，|f(f(x))- φ( φ(x))|< 10^-6；当x≥94890时，|f(f(x))- φ( φ(x))|<10^-16.

为此我们可考虑把满足函数方程f(f(x))= x²+2的f(x)展成关于(g(x))^-1的幂级数形式.

                        f(x)={g(x)-1/g(x)+[a2/g(x)^2+…+an/g(x)^n+…]}                  (5)

推广 设x, a, c为实数，n≥2为整数，a>0，c>0，fⁿ(x)=f^n-1(f(x))，函数方程

                             fⁿ(x)=cx^a                                          (6)

当x≥0时有解f(x)=c^[(1-a^(1/n))/(1-a)]x^(a^(1/n))，当x>0时且n为偶数时还有解f(x)=c^[(1+a^(1/n))/(1-a)]x^(-a^(1/n)) ；当x<0时，若a为奇数的n次方时f(x)=c^[(1-a^(1/n))/(1-a)]x^(a^(1/n))，若a为偶数则f(x)=c^[(1-a^(1/n))/(1-a)]|x|^(a^(1/n))，若n为偶数且a为奇数的n次方时还有解f(x)=c^[(1+a^(1/n))/(1-a)]x^(-a^(1/n))，若a, n皆为偶数则还有解f(x)=c^[(1+a^(1/n))/(1-a)]|x|^(-a^(1/n))，其余情形(x<0)只有复数解 http://s13/middle/57f5041b4c2ad66d0043c&690

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