关于函数方程f(f(x))= x²-2

Qingcan Xiao

School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou, China

qcxiao@21cn.com

摘  要 本文借助计算机巧妙地解决了困惑数学奥林匹克及中学数学研究数十截的函数方程难题.

关键词 无穷级数；函数方程；逼近；无穷小量；数学实验

设x为实数，孰知，函数方程f(f(x))= x²有解 ，当x≠0时，还有解，对于函数方程

                                         f(f(x))= x²-2                              (1)

是否有解f(x)，这个问题困惑了数学奥林匹克及中学数学研究数十截. 孰知

          cosh(θ)=(EXP(θ)+EXP(-θ))/2 ，      cos(θ)=(EXP(iθ)+EXP(-iθ))/2            (2)

利用(2)式我们易证：

定理1  设x为实数，-∞<x<+∞，则

f(x)=[|x|/2+SQRT((x/2)^2-1)]^SQRT(2) + [|x|/2-SQRT((x/2)^2-1)]^SQRT(2)，|x|≥2      (3)

    =2cosh(SQRT(2)arcosh(|x|/2))

f(x)=[|x|/2+iSQRT(1-(x/2)^2)]^SQRT(2) + [|x|/2-iSQRT(1-(x/2)^2)]^SQRT(2)，  1≤|x|≤2 

    =2cos(SQRT(2)arccos(|x|/2))                                                     (4)

f(x)=[x/2+iSQRT(1-(x/2)^2)]^SQRT(2) + [x/2-iSQRT(1-(x/2)^2)]^SQRT(2)，  |x|≤1 

    =2cos(SQRT(2)arccos(x/2))                                                       (5)

是f(f(x))= x²-2的解.

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